Và dưới đây là 6 phương pháp giải phương trình vô tỷ mà Toancap2.net muốn giới thiệu với các em. Tất nhiên là dưới dạng các ví dụ minh họa có lời giải.
Bài toán: Giải phương trình sau
$ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}}=x+1$
Đk: $ \displaystyle {{x}^{3}}+2x+1\ge 0;\,\,\,{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}\ge 0;$
$ \sqrt{{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}}=x+1$
⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}x+1\ge 0\\{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}={{\left( x+1 \right)}^{2}}\end{array} \right.$
⇔ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge -1\\\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}=1-3x\end{array} \right.$
⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}x\ge -1\\\frac{1}{3}\ge x\\{{x}^{3}}+2x+1={{\left( 1-3x \right)}^{2}}\end{array} \right.$
⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}-1\le x\le \frac{1}{3}\\x=0;x=1;x=8\end{array} \right.$
⇔ x = 0 (thỏa mãn điều kiện).
Bài toán: Giải phương trình: $ x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}\left( x+\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}} \right)=30$
Đặt $ t=x+\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}\Rightarrow x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}=\frac{{{t}^{3}}-35}{3t}$
Phương trình đã cho trở thành:
$ \frac{{{t}^{3}}-35}{3t}.t=30\Leftrightarrow {{t}^{3}}=125\Leftrightarrow t=5\Leftrightarrow x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}=6\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( 35-{{x}^{3}} \right)=216\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=8\\{{x}^{3}}=27\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\x=3\end{array} \right.$
Bài toán: Giải phương trình: $ \left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3$
Đk: x ≥ 1
$ \left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3$
⇔ $ \left[ \left( x+2 \right)-\left( x-1 \right) \right]\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3\left( -\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)$
⇔ $ \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=-\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}$
⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1\ge 0\\{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)}^{2}}={{\left( -\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)}^{2}}\end{array} \right.$
⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+x-2\ge 1\\{{x}^{2}}-x-2=0\end{array} \right.$
⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+x-2\ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-1\end{array} \right.\end{array} \right.$
⇔ x = 2 (thỏa mãn đk)
Bài toán: Giải phương trình: $ \sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$
Đk: x ≥ -1
⇔ $ \sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$
⇔ $ \sqrt{x+3}-\sqrt{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)}-\left( 2x-2x\sqrt{x+1} \right)=0$
⇔ $ \sqrt{x+3}\left( 1-\sqrt{x+1} \right)-2x\left( 1-\sqrt{x+1} \right)=0$
⇔ $ \left( 1-\sqrt{x+1} \right)\left( \sqrt{x+3}-2x \right)=0$
⇔ $ \left[ \begin{array}{l}1-\sqrt{x+1}=0\\\sqrt{x+3}-2x=0\end{array} \right.$
⇔$ \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.(\text{TM})$
Bài toán: Giải phương trình: $ \sqrt{2x+8}-\sqrt[3]{2x-9}=5$
Đk: x ≥ -4
Đặt $ a=\sqrt{2x+8}\ge 0;b=\sqrt[3]{2x-9}\ge \sqrt[3]{-17}$
Ta có: $ \left\{ \begin{array}{l}a-b=5\\{{a}^{2}}-{{b}^{3}}=17\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=b+5\\{{a}^{2}}-{{b}^{3}}=17\end{array} \right.$
⇒ $ {{\left( b+5 \right)}^{2}}-{{b}^{3}}=17\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b=-1\\b=-2\\b=4\end{array} \right.$
Với:
$ b=-1\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=-1\Leftrightarrow x=4$;
$ b=-2\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=-2\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$;
$ b=4\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=4\Leftrightarrow x=\frac{73}{2}$;
Vậy nghiệm của PT đã cho là: $ x=4,\,\,x=\frac{1}{2},\,\,x=\frac{73}{2}.$
Bài toán: Giải phương trình: $ \sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x}=\sqrt{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}$
Đk: $ -\frac{1}{2012}\le x\le \frac{1}{2012}$
Ta có: $ \sqrt{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\ge 2$ . Dấu = xảy ra khi x = 0.
Ta có:
$ {{\left( \sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x} \right)}^{2}}\le 2\left( 1-2012x+1+2012x \right)=4$
⇒ $ \sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x}\le 2$
Dấu = xảy ra khi x = 0. Vậy x = 0 là nghiệm của PT đã cho.