WebToan.Com là thư viện mở ngành Toán học NÊN sao chép, chia sẻ, KHÔNG NÊN thương mại hoá.

6 phương pháp giải phương trình vô tỷ

Để giải một phương trình vô tỷ thì có nhiều cách giải, tuy nhiên các em cần chọn phương pháp giải phù hợp để giải nhanh và chính xác.

Và dưới đây là 6 phương pháp giải phương trình vô tỷ mà Toancap2.net muốn giới thiệu với các em. Tất nhiên là dưới dạng các ví dụ minh họa có lời giải.

1. Phương pháp 1: Biến đổi tương đương

Bài toán: Giải phương trình sau

$ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}}=x+1$

Đk: $ \displaystyle {{x}^{3}}+2x+1\ge 0;\,\,\,{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}\ge 0;$

$ \sqrt{{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}}=x+1$

⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}x+1\ge 0\\{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}={{\left( x+1 \right)}^{2}}\end{array} \right.$

⇔ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge -1\\\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}=1-3x\end{array} \right.$

⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}x\ge -1\\\frac{1}{3}\ge x\\{{x}^{3}}+2x+1={{\left( 1-3x \right)}^{2}}\end{array} \right.$

⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}-1\le x\le \frac{1}{3}\\x=0;x=1;x=8\end{array} \right.$

⇔ x = 0 (thỏa mãn điều kiện).

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ

Bài toán: Giải phương trình: $ x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}\left( x+\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}} \right)=30$

Đặt $ t=x+\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}\Rightarrow x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}=\frac{{{t}^{3}}-35}{3t}$

Phương trình đã cho trở thành:

$ \frac{{{t}^{3}}-35}{3t}.t=30\Leftrightarrow {{t}^{3}}=125\Leftrightarrow t=5\Leftrightarrow x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}=6\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( 35-{{x}^{3}} \right)=216\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=8\\{{x}^{3}}=27\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\x=3\end{array} \right.$

3. Phương pháp 3: Phương pháp làm xuất hiện biểu thức liên hợp

Bài toán: Giải phương trình: $ \left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3$

Đk: x ≥ 1

$ \left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3$

⇔ $ \left[ \left( x+2 \right)-\left( x-1 \right) \right]\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3\left( -\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)$

⇔ $ \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=-\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}$

⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1\ge 0\\{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)}^{2}}={{\left( -\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)}^{2}}\end{array} \right.$

⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+x-2\ge 1\\{{x}^{2}}-x-2=0\end{array} \right.$

⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+x-2\ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-1\end{array} \right.\end{array} \right.$

⇔ x = 2 (thỏa mãn đk)

4. Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích

Bài toán: Giải phương trình: $ \sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$

Đk: x ≥ -1

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

👉 Để CHẤT LƯỢNG TÀI LIỆU đến các em học sinh và giáo viên được tốt nhất. Mọi người vui lòng nhập mật khẩu vào ô bên trên

🔎 Lấy mật khẩu bằng cách xem hướng dẫn từ video này

‼️‼️‼️ Hướng dẫn lấy mật khẩu (làm theo video bên dưới)

🔜 Sau khi lấy được Mã thì quay lại điền vào ô Nhập Mật Khẩu ở trên

1600222083 cua cuon dai loan cuacuonsg

⇔ $ \sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$

⇔ $ \sqrt{x+3}-\sqrt{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)}-\left( 2x-2x\sqrt{x+1} \right)=0$

⇔ $ \sqrt{x+3}\left( 1-\sqrt{x+1} \right)-2x\left( 1-\sqrt{x+1} \right)=0$

⇔ $ \left( 1-\sqrt{x+1} \right)\left( \sqrt{x+3}-2x \right)=0$

⇔ $ \left[ \begin{array}{l}1-\sqrt{x+1}=0\\\sqrt{x+3}-2x=0\end{array} \right.$

⇔$ \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.(\text{TM})$

5. Phương pháp 5: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Bài toán: Giải phương trình: $ \sqrt{2x+8}-\sqrt[3]{2x-9}=5$

Đk: x ≥ -4

Đặt $ a=\sqrt{2x+8}\ge 0;b=\sqrt[3]{2x-9}\ge \sqrt[3]{-17}$

Ta có: $ \left\{ \begin{array}{l}a-b=5\\{{a}^{2}}-{{b}^{3}}=17\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=b+5\\{{a}^{2}}-{{b}^{3}}=17\end{array} \right.$

⇒ $ {{\left( b+5 \right)}^{2}}-{{b}^{3}}=17\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b=-1\\b=-2\\b=4\end{array} \right.$

Với:

$ b=-1\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=-1\Leftrightarrow x=4$;

$ b=-2\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=-2\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$;

$ b=4\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=4\Leftrightarrow x=\frac{73}{2}$;

Vậy nghiệm của PT đã cho là: $ x=4,\,\,x=\frac{1}{2},\,\,x=\frac{73}{2}.$

6. Phương pháp 6: Phương pháp đánh giá

Bài toán: Giải phương trình: $ \sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x}=\sqrt{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}$

Đk: $ -\frac{1}{2012}\le x\le \frac{1}{2012}$

Ta có: $ \sqrt{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\ge 2$ . Dấu = xảy ra khi x = 0.

Ta có:

$ {{\left( \sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x} \right)}^{2}}\le 2\left( 1-2012x+1+2012x \right)=4$

⇒ $ \sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x}\le 2$

Dấu = xảy ra khi x = 0. Vậy x = 0 là nghiệm của PT đã cho.

★★★ Danh sách các tài liệu, đề thi HOT ★★★

✔️ 240+ Đề thi toán lớp 9

✔️ 10+ Đề thi học sinh giỏi quốc gia

Bình luận
0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
Bình luận fb
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x