Cách chứng minh một số là số chính phương – Bồi dưỡng HSG lớp 6

Toán cấp 2 giới thiệu với các bạn phương pháp, cách chứng minh một số là số chính phương qua các bài toán minh họa có lời giải.

Các bạn đã được giới thiệu các phương pháp chứng minh một số không phải là số chính phương trong TTT2 số 9. Bài viết này, tôi muốn giới thiệu với các bạn bài toán chứng minh một số là số chính phương.

Phương pháp 1:  Dựa vào định nghĩa

Ta biết rằng, số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. Dựa vào định nghĩa này, ta có thể định hướng giải quyết các bài toán.

Bài toán 1:  Chứng minh:  Với mọi số tự nhiên n thì  a_n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Lời giải:  Ta có:
a_n = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1

= (n² + 3n) (n² + 3n + 2) + 1

= (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1

= (n² + 3n + 1)²

Với n là số tự nhiên thì n² + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, a_n là số chính phương.

Bài toán 2:  Chứng minh số:  là số chính phương.

Lời giải:
Ta có:

Vậy:  là số chính phương.

Phương pháp 2:  Dựa vào tính chất đặc biệt

Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt:  “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương”.

Bài toán 3:  Chứng minh rằng:  Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m² + m = 4n² + n thì m – n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.

Lời giải:

Ta có:  3m² + m = 4n2 + n
tương đương với 4(m² – n2) + (m – n) = m²
hay là (m – n)(4m + 4n + 1) = m² (*)

Gọi d là ước chung lớn nhất của m – n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m – n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d.

Mặt khác, từ (*) ta có:  m² chia hết cho d² => m chia hết cho d.

Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.

Vậy m – n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. Cuối cùng xin gửi tới các bạn một số bài toán thú vị về số chính phương:

1) Chứng minh các số sau đây là số chính phương:

2) Cho các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn:  1/a + 1/b = 1/c. Hãy cho biết a + b có là số chính phương hay không ?

3) Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n thì 3ⁿ + 4 không là số chính phương.

4) Tìm số tự nhiên n để n² + 2n + 2004 là số chính phương.

5) Chứng minh:  Nếu: $ \displaystyle a=2+2\sqrt{{12{{n}^{2}}+1}}$ và n là hai số tự nhiên thì a là số chính phương.