Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Toán cấp 2 gửi tới các em một số bài bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các dạng đã được học ở bài Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Bản chất : Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ứng dụng :Tính nhanh, giải các bài toán về tìm x, giải phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình, rút gọn biểu thức.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp : Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B có nhân tử chung C, khi đó.

A + B = C.A₁ + C.B₁ = C(A₁ + B₁)

Bài toán 1: Phân tích thành nhân tử.

a) 20x – 5y                                                    e) 4x²y – 8xy² + 10x²y²

b) 5x(x – 1) – 3x(x – 1)                                  g) 20x²y – 12x³

c) x(x + y) – 6x – 6y                                       h) 8x⁴ + 12x²y⁴ – 16x³y⁴

d) 6x³ – 9x²                                                   k) 4xy² + 8xyz

Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) 3x(x +1) – 5y(x + 1)                                   h) 3x³(2y – 3z) – 15x(2y – 3z)²

b) 3x(x – 6) – 2(x – 6)                                    k) 3x(z + 2) + 5(-x – 2)

c) 4y(x – 1) – (1 – x)                                      l) 18x²(3 + x) + 3(x + 3)

d) (x – 3)³ + 3 – x                                          m) 14x²y – 21xy² + 28x²y²

e) 7x(x – y) – (y – x)                                      n) 10x(x – y) – 8y(y – x)

Bài toán 3 : Tìm x biết.

a) 4x(x + 1) = 8(x + 1)                                    g) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

b) x(x – 1) – 2(1 – x) = 0                                 h) x² – 4x = 0

c) 2x(x – 2) – (2 – x)² = 0                                k) (1 – x)² – 1 + x = 0

d) (x – 3)³ + 3 – x = 0                                      m) x + 6x² = 0

e) 5x(x – 2) – (2 – x) = 0                                  n) (x + 1) = (x + 1)²

Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phương pháp : Biến đổi đa thức bạn đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.

Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 4x² – 1

b) 25x² – 0,09

c) 9x² – $ \displaystyle \frac{1}{4}$

d) (x – y)² – 4

e) 9 – (x – y)²

f) (x² + 4)² – 16x²

Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x⁴ – y⁴

b) x² – 3y²

c) (3x – 2y)² – (2x – 3y)²

d) 9(x – y)² – 4(x + y)²

e) (4x² – 4x + 1) – (x + 1)²

f) x³ + 27

g) 27x³ – 0,001

h) 125x³ – 1

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x⁴ + 2x² + 1

b) 4x² – 12xy + 9y²

c) -x² – 2xy – y²

d) (x + y)² – 2(x + y) + 1

e) x³ – 3x² + 3x – 1

g) x³ + 6x² + 12x + 8

h) x³ + 1 – x² – x

k) (x + y)³ – x³ – y³

Bài toán 4 : Tìm x biết.

a) 4x² – 49 = 0

b) x² + 36 = 12x

c) $ \displaystyle \frac{1}{16}$x² – x + 4 = 0

d) x³ -3√3x² + 9x – 3√3 = 0

Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Bài toàn 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x² – x – y² – y

b) x² – 2xy + y² – z²

c) 5x – 5y + ax – ay

d) a³ – a²x – ay + xy

e) 4x² – y² + 4x + 1

f) x³ – x + y³ – y

Bài toán 2 : Phân tích  các đa thức sau thành nhân tử:

a) 10(- y) – 8y(y  – )                           b)  2y + 3z + 6y + y

Bài toán 3 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – y² – 2x + 2y                             b) 2x + 2y – x² – xy

c) 3a² – 6ab + 3b² – 12c²                   d) x² – 25 + y² + 2xy

e) a² + 2ab + b² – ac – bc                   f)  x² – 2x – 4y² – 4y

g) x²y – x³ – 9y + 9x                           h) x²(x -1) + 16(1- x)

Dạng 4 : Phương pháp thêm, bớt một hạng tử

Ví dụ :

a) y⁴ + 64 = y⁴ + 16y² + 64 – 16y²

= (y² + 8)² – (4y)²

= (y² + 8 – 4y)(y² + 8 + 4y)

b) x² + 4 = x² + 4x + 4 – 4x = (x + 2)² – 4x

= (x + 2)² – $ \displaystyle {{\left( 2\sqrt{x} \right)}^{2}}$ = $ \displaystyle \left( x-2\sqrt{x}+2 \right)\left( x+2\sqrt{x}+2 \right)$

Bài toán 1 : phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x⁴ + 16

b) x⁴y⁴ + 64

c) x⁴y⁴ + 4

d) 4x⁴y⁴ + 1

e) x⁴ + 1

f) x⁸ + x + 1

g) x⁸ + x⁷ + 1

h) x⁸ + 3x⁴ + 1

k) x⁴ + 4y⁴

Bài toán 2 : phân tích đa thức thành nhân tử :

a) a² – b² – 2x(a – b)

b) a² – b² – 2x(a + b)

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x⁴y⁴ + 4

b) 4x⁴ + 1

c) 64x⁴ + 1

d) x⁴ + 64

Dạng 5 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương cách phối hợp nhiều phương pháp

Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) 16x⁴(x – y) – x + y

b) 2x³y – 2xy³ – 4xy² – 2xy

c) x(y² – z²) + y(z² – x²) + z(x² – y²)

Bài toán 2 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 16x³ – 54y³

b) 5x² – 5y²

c) 16x³y + yz³

d) 2x⁴ – 32

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) 4x – 4y + x² – 2xy + y²

b) x⁴ – 4x³ – 8x² + 8x

c) x³ + x² – 4x – 4

d) x⁴ – x² + 2x – 1

e) x⁴ + x³ + x² + 1

f) x³ – 4x² + 4x – 1

Bài toán 4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x³ + x²y – xy² – y³

b) x²y² + 1 – x² – y²

c) x² – y² – 4x + 4y

d) x² – y² – 2x – 2y

e) x² – y² – 2x – 2y

f) x³ – y³ – 3x + 3y

Bài toán 5 : Tìm  x, biết.

a) x³ – x² – x + 1 = 0

b) (2x³ – 3)² – (4x² – 9) = 0

c) x⁴ + 2x³ – 6x – 9 = 0

d) 2(x + 5) – x² – 5x = 0

Bài toán 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a) A = x² – x + 1                                                      d) D = x² + y² – 4(x + y) + 16

b) B = 4x² + y² – 4x – 2y + 3                                    e) E = x² + 5x + 8

c) C = x² + x + 1                                                      g) G = 2x² + 8x + 9

Bài toán 7 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

a) A = -4x² – 12x

b) B = 3 – 4x – x²

c) C = x²  + 2y² + 2xy – 2y

d) D = 2x – 2 – 3x²

e) E = 7 – x² – y² – 2(x + y)