| 1. CĂN BẬC HAI của số thực a là số x sao cho x2 = a.
– Số thực a dương: có đúng hai căn bậc hai là số đối nhau: số dương kí hiệu là $ \displaystyle \sqrt{a}$ và số âm kí hiệu là $ \displaystyle -\sqrt{a}$. – Số 0: có đúng 1 căn bậc hai là chính số 0, ta viết $ \displaystyle \sqrt{0}=0$ – Số thực a âm: không có căn bậc hai, khi đó ta nói biểu thức $ \displaystyle \sqrt{a}$ không có nghĩa hay không xác định. |
| 2. CĂN BÂC HAI SỐ HỌC của số thực a là số không âm x mà x2 = a.
Với a ≥ 0, ta có: – Số x là căn bậc hai số học của a thì x = $ \displaystyle \sqrt{a}$ $ \displaystyle x=\sqrt{a}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\{{x}^{2}}={{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}=a\end{array} \right.$ – $ \displaystyle \sqrt{a}\ge 0$ và $ \displaystyle {{(\sqrt{a})}^{2}}=a$ |
| 3. Với a, b là các số dương, ta có:
a) Nếu a < b thì $ \displaystyle \sqrt{a}<\sqrt{b}$ b) Nếu $ \displaystyle \sqrt{a}<\sqrt{b}$ thì a < b. |
Bài tập 1: Tìm câu đúng trong các câu sau:
| a) Căn bậc hai của 0,81 là 0,9;
b) Căn bậc hai của 0,81 là 0,09; c) Căn bậc hai của 0,81 là 0,9 và –0,9; |
d) $ \displaystyle \sqrt{0,81}=0,9$
e) $ \displaystyle \sqrt{0,81}=\pm 0,9$ |
Bài tập 2: Tìm câu đúng trong các câu sau:
| a) Số 3 không có căn bậc hai.
b) Căn bậc hai của 3 là $ \displaystyle \sqrt{3}$ c) Căn bậc hai của 3 là $ \displaystyle \sqrt{3}$ và $ \displaystyle -\sqrt{3}$ |
d) Căn bậc hai số học của 3 là $ \displaystyle \sqrt{3}$
e) Căn bậc hai số học của 3 là $ \displaystyle \sqrt{3}$ và $ \displaystyle -\sqrt{3}$ |
Bài tập 3: Tìm các căn bậc hai số học của các số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:
16; 25; 144; 0,09; 225; $ \displaystyle \frac{9}{16}$; 121; 10 000; 0,01.
Bài tập 3: Chứng minh $ \displaystyle \sqrt{5}$ là số vô tỉ.
Giải:
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:
Giả sử $ \displaystyle \sqrt{5}$ là số hữu tỉ.
Như vậy $ \displaystyle \sqrt{5}$ có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản $ \displaystyle \frac{\text{m}}{\text{n}}$, tức là $ \displaystyle \sqrt{5}=\frac{\text{m}}{\text{n}}$.
Suy ra $ \displaystyle {{(\sqrt{5})}^{2}}={{\left( \frac{\text{m}}{\text{n}} \right)}^{2}}$ hay 5n2 = m2 (1).
Đẳng thức này chứng tỏ m2 $ \displaystyle \vdots $ 5, mà 5 là số nguyên tố nên m $ \displaystyle \vdots $ 5.
Đặt m = 5k (k $ \displaystyle \in \mathbb{Z}$), ta có m2 = 25k2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra 5n2 = 25k2 nên n2 = 5k2 (3).
Từ (3) ta lại có n2 $ \displaystyle \vdots $ 5 mà 5 là số nguyên tố nên n $ \displaystyle \vdots $ 5.
m và n cùng chia hết cho 5 nên phân số $ \displaystyle \frac{\text{m}}{\text{n}}$ không tối giản, trái với giả thiết.
Vậy $ \displaystyle \sqrt{5}$ không phải là số hữu tỉ, do đó $ \displaystyle \sqrt{5}$ là số vô tỉ.
Bài tập 4: Chứng minh rằng:
| a) $ \displaystyle \sqrt{3}$ là số vô tỉ
b) $ \displaystyle \sqrt{7}$ là số vô tỉ |
c) $ \displaystyle \sqrt{3}+1$ là số vô tỉ
d) $ \displaystyle \sqrt{1+\sqrt{2}}$ là số vô tỉ |
Bài tập 5: Giải phương trình:
| Chú ý phương trình dạng: $ \displaystyle \sqrt{a}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\{{x}^{2}}={{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}=a\end{array} \right.$
Lưu ý: Nếu x < 0 Þ phương trình vô nghiệm |
|||
| a) $ \displaystyle \sqrt{x}=15$
b) $ \displaystyle \sqrt{x}-1=3$ c) $ \displaystyle 2\sqrt{x}=14$ |
d) $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+1}=2$
e) $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+5x+20}=4$ f) $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+3}=-1$ |
||
Bài tập 6: Tìm x không âm, biết:
| a) $ \displaystyle \sqrt{x}<\sqrt{4}$ | b) $ \displaystyle \sqrt{2x}<4$ |
Bài tập 7: So sánh hai số:
| a) $ \displaystyle 2\sqrt{3}$ và $ \displaystyle 3\sqrt{2}$
b) $ \displaystyle 6\sqrt{5}$ và $ \displaystyle 5\sqrt{6}$ |
c) $ \displaystyle 3\sqrt{26}$ và 15
d) $ \displaystyle -5\sqrt{35}$ và –30 |
Bài tập 8: So sánh hai số:
| a) $ \displaystyle \sqrt{7}+\sqrt{15}$ với 7
b) $ \displaystyle \sqrt{24}+\sqrt{45}$ với 12 |
c) $ \displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{11}$ với $ \displaystyle \sqrt{3}+5$
d) $ \displaystyle \sqrt{37}-\sqrt{15}$ với 2 |
Bài tập 9: So sánh hai số:
| a) $ \displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{15}$ với $ \displaystyle \sqrt{65}-1$ | b) $ \displaystyle \frac{13-2\sqrt{3}}{6}$ và $ \displaystyle \sqrt{2}$ |
Bài tập 10: So sánh các số:
| a) $ \displaystyle \frac{30+2\sqrt{45}}{4}$ và 12 | b) $ \displaystyle \sqrt{5\sqrt{3}}$ với $ \displaystyle \sqrt{3\sqrt{5}}$ |
Hướng dẫn và đáp số:
Bài tập 1: Câu c) d) đúng
Bài tập 2: Câu c) d) đúng
Bài tập 4:
a) b) Chứng minh tương tự bài 3
c) Giả sử $ \displaystyle \sqrt{3}+1$ là một số hữu tỉ. Đặt $ \displaystyle \sqrt{3}+1=x$ (x $ \displaystyle \in \mathbb{Q}$), ta có:
$ \displaystyle {{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow 3+2\sqrt{3}+1={{x}^{2}}\Leftrightarrow \sqrt{3}=\frac{{{x}^{2}}-4}{2}$
Vì x là số hữu tỉ nên x2 – 4 là số hữu tỉ, do đó $ \displaystyle \frac{{{x}^{2}}-4}{2}$ là số hữu tỉ.
Như vậy $ \displaystyle \sqrt{3}$ là số hữu tỉ, điều này vô lý. Vậy $ \displaystyle \sqrt{3}+1$ là số vô tỉ.
d) Giả sử $ \displaystyle \sqrt{1+\sqrt{2}}$ = m (m là số hữu tỉ) thì $ \displaystyle \sqrt{2}$ = m2 – 1 nên $ \displaystyle \sqrt{2}$ là số hữu tỉ, vô lý.
Bài tập 5: Giải phương trình:
| a) $ \displaystyle \sqrt{x}-1=3$
$ \displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{x}=3+1=4$ $ \displaystyle \Leftrightarrow x={{4}^{2}}=16$ Vậy … |
b) $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+1}=2$
$ \displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}+1={{2}^{2}}=4$ $ \displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}=4-1=3$ $ \displaystyle \Leftrightarrow x=\sqrt{3}$ Vậy … |
c) $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+5x+20}=4$
$ \displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+20={{4}^{2}}=16$ $ \displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+4=0$ $ \displaystyle \Leftrightarrow (x+1)(x+4)=0$ $ \displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=-4\end{array} \right.$ Vậy … |
d) $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+3}=-1$
Do –1 < 0 nên phương trình vô nghiệm |
Bài tập 7: So sánh hai số:
a) $ \displaystyle 2\sqrt{3}$ và $ \displaystyle 3\sqrt{2}$
Có: $ \displaystyle {{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}={{2}^{2}}.{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}=4.3=12$; $ \displaystyle {{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}={{3}^{2}}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=9.2=18$
Do 12 < 18 nên $ \displaystyle {{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}$ < $ \displaystyle {{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}$ hay $ \displaystyle 2\sqrt{3}$ < $ \displaystyle 3\sqrt{2}$
b) $ \displaystyle 6\sqrt{5}$ và $ \displaystyle 5\sqrt{6}$
Có: $ \displaystyle {{\left( 6\sqrt{5} \right)}^{2}}={{6}^{2}}.{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}=36.5=180$; $ \displaystyle {{\left( 5\sqrt{6} \right)}^{2}}={{5}^{2}}.{{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}=25.6=150$
Do 180 > 150 nên $ \displaystyle {{\left( 6\sqrt{5} \right)}^{2}}$ > $ \displaystyle {{\left( 5\sqrt{6} \right)}^{2}}$ hay $ \displaystyle 6\sqrt{5}$ > $ \displaystyle 5\sqrt{6}$
c) $ \displaystyle 3\sqrt{26}$ và 15
Ta có 15 = 3.5, nên ta đi so sánh: $ \displaystyle \sqrt{26}$ và 5
Bài tập 8: So sánh hai số:
$ \displaystyle \sqrt{37}-\sqrt{15}$ với 2
Có: $ \displaystyle 37>36\Rightarrow \sqrt{37}>\sqrt{36}$;
$ \displaystyle \sqrt{15}<\sqrt{16}\Rightarrow -\sqrt{15}>-\sqrt{16}$
Nên $ \displaystyle \sqrt{37}-\sqrt{15}>\sqrt{36}-\sqrt{16}=6-4=2$
Bài tập 9: So sánh hai số:
$ \displaystyle \frac{13-2\sqrt{3}}{6}>\frac{13-2\sqrt{4}}{6}=1,5$
Mặt khác: (1,5)2 = 2,25; $ \displaystyle {{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=2$
Suy ra: 1,5 > $ \displaystyle \sqrt{2}$, do đó: $ \displaystyle \frac{13-2\sqrt{3}}{6}>\sqrt{2}$