I . Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai:
| · Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: | $ \displaystyle \sqrt{{{{A}^{2}}B}}=\left| A \right|\sqrt{B}$ (B ≥ 0) |
| · Đưa thừa số vào trong dấu căn: | $ \displaystyle A\sqrt{B}=\sqrt{{{{A}^{2}}B}}$ (với A ≥ 0 và B ≥ 0) |
| $ \displaystyle A\sqrt{B}=-\sqrt{{{{A}^{2}}B}}$ (với A < 0 và B ≥ 0) | |
| · Khử mẫu của biểu thức lấy căn: | $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{AB}}{{{{B}^{2}}}}}}=\frac{{\sqrt{{AB}}}}{{\left| B \right|}}$ (với AB ≥ 0, B ≠ 0) |
| · Trục căn thức ở mẫu: | $ \displaystyle \frac{M}{{\sqrt{A}}}=\frac{{M\sqrt{A}}}{A}$ (A > 0) |
| $ \displaystyle \frac{M}{{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}}=\frac{{M\left( {\sqrt{A}\mp \sqrt{B}} \right)}}{{A-B}}$ (A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B) |
II . Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai:
Bài tập 1: Tính:
| a) $ \displaystyle \frac{3}{{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}-\frac{4}{{3-\sqrt{5}}}$; | b) $ \displaystyle \frac{{\sqrt{5}-2}}{{5+2\sqrt{5}}}-\frac{1}{{2+\sqrt{5}}}+\frac{1}{{\sqrt{5}}}$; |
| c) $ \displaystyle \frac{1}{{2+\sqrt{3}}}+\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{6}}}-\frac{2}{{3+\sqrt{3}}}$; | d) $ \displaystyle \frac{{2\sqrt{3}-4}}{{\sqrt{3}-1}}+\frac{{2\sqrt{2}-1}}{{\sqrt{2}-1}}-\frac{{1+\sqrt{6}}}{{\sqrt{2}+3}}$. |
Bài tập 2: Tính:
a) A = $ \displaystyle \sqrt{{\sqrt{5}-\sqrt{{3-\sqrt{{29-6\sqrt{{20}}}}}}}}$;
b) B = $ \displaystyle \sqrt{{6+2\sqrt{{5-\sqrt{{13+\sqrt{{48}}}}}}}}$;
c) C = $ \displaystyle \sqrt{{4+\sqrt{{5\sqrt{3}+5\sqrt{{48-10\sqrt{{7+4\sqrt{3}}}}}}}}}$.
Bài tập 3: Thực hiện phép tính: B = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}{2}:\left( {\frac{{\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}{2}-\frac{2}{{\sqrt{6}}}+\frac{{\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}{{2\sqrt{3}}}} \right)$.
Bài tập 4: Thực hiện phép tính: A = $ \displaystyle \left( {\sqrt{{\frac{{1+a}}{{1-a}}}}+\sqrt{{\frac{{1-a}}{{1+a}}}}} \right):\left( {\sqrt{{\frac{{1+a}}{{1-a}}}}-\sqrt{{\frac{{1-a}}{{1+a}}}}} \right)$.
Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức: M = $ \displaystyle \frac{{(x+1)\sqrt{3}}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}-x+1}}}}$ với $ \displaystyle x=2+\sqrt{3}$.
Bài tập 6: Cho $ \displaystyle a=\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$, $ \displaystyle b=\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$. Tính $ \displaystyle {{a}^{7}}+{{b}^{7}}$.
Bài tập 7: Cho biết: $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+13}}-\sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}=1$.
Tính: $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+13}}+\sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}$.
Bài tập 8: Cho biểu thức $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+19}}-\sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}=3$.
Tính giá trị của biểu thức: M = $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+19}}+\sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}$.
DẠNG 2: Rút gọn biểu thức.
Bài tập 9: Trục căn thức ở mẫu: $ \displaystyle \frac{{16-{{a}^{2}}}}{{2-\sqrt{a}}}$
Bài tập 10: Rút gọn biểu thức: A = $ \displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{{3-\sqrt{{29-12\sqrt{5}}}}}$.
Bài tập 11: Rút gọn các biểu thức:
| a) $ \displaystyle \sqrt{{200}}-\sqrt{{32}}+\sqrt{{72}}$; | b) $ \displaystyle \sqrt{{175}}-\sqrt{{112}}+\sqrt{{63}}$; |
| c) $ \displaystyle 4\sqrt{{20}}-3\sqrt{{125}}+5\sqrt{{45}}-15\sqrt{{\frac{1}{5}}}$; | d) $ \displaystyle \left( {2\sqrt{8}+3\sqrt{5}-7\sqrt{2}} \right)\left( {\sqrt{{72}}-5\sqrt{{20}}-2\sqrt{2}} \right)$. |
Bài tập 12: Rút gọn các biểu thức:
a) $ \displaystyle 2\sqrt{{8\sqrt{3}}}-2\sqrt{{5\sqrt{3}}}-3\sqrt{{20\sqrt{3}}}$;
b) $ \displaystyle \sqrt{{343a}}+\sqrt{{63a}}-\sqrt{{28a}}$ với a ≥ 0;
c) $ \displaystyle -\sqrt{{36b}}-\frac{1}{3}\sqrt{{54b}}+\frac{1}{5}\sqrt{{150b}}$ với b ≥ 0.
Bài tập 13: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu có thể):
| a) $ \displaystyle \frac{{\sqrt{6}+\sqrt{{14}}}}{{2\sqrt{3}-\sqrt{7}}}$; | b) $ \displaystyle \frac{{3+4\sqrt{3}}}{{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{5}}}$; |
| c) $ \displaystyle \frac{{5\sqrt{5}+3\sqrt{3}}}{{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$; | d) $ \displaystyle \frac{1}{{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2}+\sqrt{{10}}}}$. |
Bài tập 14: Rút gọn biểu thức: A = $ \displaystyle \frac{{2+\sqrt{3}}}{{\sqrt{2}+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}+\frac{{2-\sqrt{3}}}{{\sqrt{2}-\sqrt{{2-\sqrt{3}}}}}$.
Bài tập 15: Rút gọn các biểu thức:
| a) $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{{7-\sqrt{{24}}}}+1}}-\frac{1}{{\sqrt{{7+\sqrt{{24}}}}-1}}$; | b) $ \displaystyle \frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{{\sqrt{3}+1}}-1}}-\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{{\sqrt{3}+1}}+1}}$; |
| c) $ \displaystyle \frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{{\sqrt{3}+1}}-1}}-\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{{\sqrt{3}+1}}+1}}$; | d) $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{3+\sqrt{5}}}{{3-\sqrt{5}}}}}+\sqrt{{\frac{{3-\sqrt{5}}}{{3+\sqrt{5}}}}}$. |
Bài tập 16: Rút gọn các biểu thức:
| a) A = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{\frac{5}{3}}}+\sqrt{{\frac{3}{5}}}-2}}{{\sqrt{{\frac{5}{3}}}-\sqrt{{\frac{3}{5}}}}}$; | c) C = $ \displaystyle \frac{{2{{{\left( {\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{{6\sqrt{2}}}} \right)}}^{{-1}}}+3{{{\left( {\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{{4\sqrt{3}}}} \right)}}^{{-1}}}}}{{{{{\left( {\frac{{2+\sqrt{6}}}{{12}}} \right)}}^{{-1}}}+{{{\left( {\frac{{3+\sqrt{6}}}{{12}}} \right)}}^{{-1}}}}}$. |
| b) B = $ \displaystyle \frac{{\left( {\sqrt{3}-\sqrt{2}} \right)\left( {\sqrt{3}+\sqrt{2}} \right)}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}+\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}}}$; |
Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:
a) A = $ \displaystyle \frac{{1+\sqrt{5}}}{{\sqrt{2}+\sqrt{{3+\sqrt{5}}}}}+\frac{{1-\sqrt{5}}}{{\sqrt{2}-\sqrt{{3-\sqrt{5}}}}}$;
b) B = $ \displaystyle \left( {\frac{{1-a\sqrt{a}}}{{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}} \right){{\left( {\frac{{1-\sqrt{a}}}{{1-a}}} \right)}^{2}}$;
c) C = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}{{xy\sqrt{{xy}}}}:\left[ {\left( {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \right).\frac{1}{{x+y+2\sqrt{{xy}}}}+\frac{2}{{{{{\left( {\sqrt{x}+\sqrt{y}} \right)}}^{3}}}}.\left( {\frac{1}{{\sqrt{x}}}+\frac{1}{{\sqrt{y}}}} \right)} \right]$
với $ \displaystyle x=2-\sqrt{3}$ và $ \displaystyle y=2+\sqrt{3}$.
Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: P = $ \displaystyle \frac{{1-\sqrt{{x-1}}}}{{\sqrt{{x-2\sqrt{{x-1}}}}}}$.
Bài tập 19: Rút gọn biểu thức: Q = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{x+\sqrt{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}}}-\sqrt{{x-\sqrt{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}}}}}{{\sqrt{{2(x-y)}}}}$ với x > y > 0.
Bài tập 20: Rút gọn biểu thức:
A = $ \displaystyle \left( {\frac{1}{{\sqrt{{x-1}}}}+\frac{1}{{\sqrt{{x+1}}}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt{{x-1}}}}-\frac{1}{{\sqrt{{x+1}}}}} \right)$ với $ \displaystyle x=\frac{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{{2ab}}$ và b > a > 0.
Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: B = $ \displaystyle \frac{{2a\sqrt{{1+{{x}^{2}}}}}}{{\sqrt{{1+{{x}^{2}}}}-x}}$ với $ \displaystyle x=\frac{1}{2}\left( {\sqrt{{\frac{{1-a}}{a}}}-\sqrt{{\frac{a}{{1-a}}}}} \right)$ và 0 < a < 1.
Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: M = $ \displaystyle (a+b)-\sqrt{{\frac{{({{a}^{2}}+1)({{b}^{2}}+1)}}{{{{c}^{2}}+1}}}}$
với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1.
Bài tập 23: Rút gọn biểu thức: A = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{x+2\sqrt{{x-1}}}}+\sqrt{{x-2\sqrt{{x-1}}}}}}{{\sqrt{{x+\sqrt{{2x-1}}}}+\sqrt{{x-\sqrt{{2x-1}}}}}}.\sqrt{{2x-1}}$.
Bài tập 24: Rút gọn biểu thức: A = $ \displaystyle \sqrt{{1-a}}+\sqrt{{a(a-1)}}+a\sqrt{{\frac{{a-1}}{a}}}$.
Bài tập 25: Rút gọn biểu thức: A = $ \displaystyle \frac{{x+3+2\sqrt{{{{x}^{2}}-9}}}}{{2x-6+\sqrt{{{{x}^{2}}-9}}}}$.
Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: B = $ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}+5x+6+x\sqrt{{9-{{x}^{2}}}}}}{{3x-{{x}^{2}}+(x+2)\sqrt{{9-{{x}^{2}}}}}}$.
Bài tập 27: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức tại x = 3.
M = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{x-2\sqrt{2}}}}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}-4x\sqrt{2}+8}}}}-\frac{{\sqrt{{x+2\sqrt{2}}}}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+4x\sqrt{2}+8}}}}$.
Bài tập 28: Rút gọn các biểu thức:
a) A = $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{1}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{4}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{n-1}}+\sqrt{n}}}$;
b) B = $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{1}-\sqrt{2}}}-\frac{1}{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}-\sqrt{4}}}-…-\frac{1}{{\sqrt{{24}}-\sqrt{{25}}}}$.
Bài tập 29: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:
a) A = $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{{2c}}}}$ trong đó a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện c là trung bình nhân của hai số a và b.
b) B = $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}}$ trong đó a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện ab = cd và a + b ≠ c + d.
Bài tập 30: Giải phương trình:
| a) $ \displaystyle \sqrt{{7+\sqrt{{2x}}}}=3+\sqrt{5}$; | b) $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+9}}=\sqrt{{4+2\sqrt{3}}}$; |
| c) $ \displaystyle \sqrt{{3{{x}^{2}}-4x}}=2x-3$; | d) $ \displaystyle \frac{{(7-x).\sqrt{{7-x}}+(x-5)\sqrt{{x-5}}}}{{\sqrt{{7-x}}+\sqrt{{x-5}}}}=2$. |
Bài tập 31: Giải phương trình:
a) $ \displaystyle \sqrt{{4x-12}}+\sqrt{{9x-27}}-4\sqrt{{x-3}}+3-x=0$;
b) $ \displaystyle \sqrt{{25x+75}}+3\sqrt{{x-2}}=2+4\sqrt{{x+3}}+\sqrt{{9x-18}}$;
c) $ \displaystyle \sqrt{{49x-98}}-14\sqrt{{\frac{{x-2}}{{49}}}}=\sqrt{{9x-18}}+8$;
d) $ \displaystyle \sqrt{{x+\sqrt{{2x-1}}}}+\sqrt{{x-\sqrt{{2x-1}}}}=\sqrt{2}$.
Bài tập 32: Cho A = $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-x-\frac{1}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-x}}$ trong đó x Î $ \displaystyle \mathbb{R}$.
Xác định x để giá trị của A là một số tự nhiên.
Bài tập 33: Tìm các số tự nhiên x, y sao cho x > y > 0 thỏa mãn điều kiện:
$ \displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{{931}}$
Bài tập 34: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho $ \displaystyle \sqrt{{n+1}}-\sqrt{n}<0,05$.
Bài tập 35: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: S = $ \displaystyle \sqrt{{x-3}}+\sqrt{{y-4}}$, biết x + y = 8.
Bài tập 36: Không dùng máy tính hoặc bảng số, so sánh các số sau:
a) $ \displaystyle -3\sqrt{{11}}$ và $ \displaystyle -7\sqrt{2}$;
b) $ \displaystyle \frac{7}{2}\sqrt{{\frac{1}{{12}}}}$ và $ \displaystyle \frac{9}{4}\sqrt{{\frac{1}{5}}}$;
c) $ \displaystyle \sqrt{{\frac{4}{{27}}}}$ và $ \displaystyle \sqrt{{\frac{3}{{26}}}}$.
Bài tập 37: Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng: $ \displaystyle 4\sqrt{5}-3\sqrt{2}<5$.
Bài tập 38: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
a) $ \displaystyle \sqrt{{c(a-c)}}+\sqrt{{c(b-c)}}-\sqrt{{ab}}\le 0$ với a > c, b > c.
b) Nếu $ \displaystyle \sqrt{{1+b}}+\sqrt{{1+c}}\ge 2\sqrt{{1+a}}$ thì b + c ≥ 2a.
Bài tập 39:
Cho biểu thức: P = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{{{{(x+2)}}^{2}}-8x}}}}{{\sqrt{x}-\frac{2}{{\sqrt{x}}}}}$. Chứng minh rằng: P = $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}-\sqrt{x}\,\,\,khi\,\,\,0<x<2\\\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x>2\end{array} \right.$
Bài tập 40: Chứng minh rằng: $ \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{{3\sqrt{2}}}+\frac{1}{{4\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{2018\sqrt{{2019}}}}<2$
Bài tập 41: Chứng minh rằng:
a) $ \displaystyle \frac{1}{{1+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{99}}+\sqrt{{100}}}}=9$;
b) $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{225}}}}<28$.
Bài tập 42: Chứng minh rằng A < B với:
A = $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{1}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{120}}+\sqrt{{121}}}}$ và B = $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{1}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{35}}}}$.
Bài tập 43: Chứng minh các hằng đẳng thức:
a) $ \displaystyle \sqrt{{10+\sqrt{{60}}-\sqrt{{24}}-\sqrt{{40}}}}=\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}$;
b) $ \displaystyle \sqrt{{6+\sqrt{{24}}+\sqrt{{12}}+\sqrt{8}}}-\sqrt{3}=\sqrt{2}+1$.
Bài tập 44: Cho A = $ \displaystyle \sqrt{{10+\sqrt{{24}}+\sqrt{{40}}+\sqrt{{60}}}}$.
Hãy biểu diễn A dưới dạng tổng của ba căn thức.
Bài tập 45: Chứng minh hằng đẳng thức sau với x ≥ 2:
$ \displaystyle \sqrt{{\sqrt{x}+\sqrt{{\frac{{{{x}^{2}}-4}}{x}}}}}+\sqrt{{\sqrt{x}-\sqrt{{\frac{{{{x}^{2}}-4}}{x}}}}}=\sqrt{{\frac{{2x+4}}{{\sqrt{x}}}}}$
Bài tập 46: Chứng minh rằng $ \displaystyle \frac{{2\sqrt{{mn}}}}{{\sqrt{m}+\sqrt{n}+\sqrt{{m+n}}}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}-\sqrt{{m+n}}$.
Áp dụng tính $ \displaystyle \frac{{2\sqrt{{10}}}}{{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}}$.
Bài tập 47: Chứng minh rằng $ \displaystyle \frac{1}{{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{{n+1}}}}=\frac{1}{{\sqrt{n}}}-\frac{1}{{\sqrt{{n+1}}}}$ với n ∈ $ \displaystyle {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Áp dụng tính tổng: $ \displaystyle S=\frac{1}{{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}}+\frac{1}{{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{400\sqrt{{399}}+399\sqrt{{400}}}}$.
Bài tập 48: Tính giá trị của biểu thức:
$ \displaystyle M=\frac{1}{{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}}+\frac{1}{{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}}+\frac{1}{{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}}+…+\frac{1}{{25\sqrt{{24}}+24\sqrt{{25}}}}$.
Bài tập 49: Cho a = $ \displaystyle \sqrt{2}-1$.
a) Viết a2, a3 dưới dạng $ \displaystyle \sqrt{m}-\sqrt{{m-1}}$ trong đó m là số tự nhiên.
b*) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an viết được dưới dạng trên.
Bài tập 50: Chứng minh rằng với mọi x > 0, y > 0 và x ≠ y, giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến x, y.
A = $ \displaystyle \frac{{{{x}^{4}}}}{{x-y}}.\sqrt{{\frac{1}{{{{x}^{6}}}}-\frac{{2y}}{{{{x}^{7}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{x}^{8}}}}}}$.
Bài tập 51: Cho x, y, z > 0 và khác nhau đôi một. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của các biến.
P = $ \displaystyle \frac{x}{{\left( {\sqrt{x}-\sqrt{y}} \right)\left( {\sqrt{x}-\sqrt{z}} \right)}}+\frac{y}{{\left( {\sqrt{y}-\sqrt{z}} \right)\left( {\sqrt{y}-\sqrt{x}} \right)}}+\frac{z}{{\left( {\sqrt{z}-\sqrt{x}} \right)\left( {\sqrt{z}-\sqrt{y}} \right)}}$.
Bài tập 52: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a) Q = $ \displaystyle \frac{1}{x}.\left( {\frac{{\sqrt{{x+1}}+\sqrt{{x-1}}}}{{\sqrt{{x+1}}-\sqrt{{x-1}}}}+\frac{{\sqrt{{x+1}}-\sqrt{{x-1}}}}{{\sqrt{{x+1}}+\sqrt{{x-1}}}}} \right)$ với x > 1.
b) R = $ \displaystyle \frac{{2x}}{{x+3\sqrt{x}+2}}+\frac{{5\sqrt{x}+1}}{{x+4\sqrt{x}+3}}+\frac{{\sqrt{x}+10}}{{x+5\sqrt{x}+6}}$ với x ≥ 0.
Bài tập 53: Cho: M = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{a}+6}}{{\sqrt{a}+1}}$.
a) Tìm các số nguyên a để m là số nguyên;
b) Chứng minh rằng với a = $ \displaystyle \frac{4}{9}$ thì M là số nguyên;
c) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.
Bài tập 54: Cho biểu thức: M = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{a}+2}}{{\sqrt{a}-2}}$.
a) Tìm các số nguyên a để m là số nguyên.
b) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.
Bài tập 55: Cho biểu thức: C = $ \displaystyle \frac{{3x+\sqrt{{9x}}-3}}{{x+\sqrt{x}-2}}-\frac{{\sqrt{x}+1}}{{\sqrt{x}+2}}+\frac{{\sqrt{x}+2}}{{1-\sqrt{x}}}$.
a) Tìm điều kiện của x để C có nghĩa;
b) Rút gọn biểu thức C;
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của C là một số nguyên.
Bài tập 56: Cho biểu thức: A = $ \displaystyle {{x}^{2}}-3x\sqrt{y}+2y$.
a) Phân tích A thành nhân tử;
b) Tính giá trị của A khi $ \displaystyle x=\frac{1}{{\sqrt{5}-2}}$, $ \displaystyle y=\frac{1}{{9+4\sqrt{5}}}$.
Bài tập 57: Cho biểu thức:
P = $ \displaystyle \left( {\frac{{2\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+3}}+\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-3}}-\frac{{3x+3}}{{x-9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}-3}}-1} \right)$ với x ≥ 0 và x ≠ 9.
a) Rút gọn P;
b) Tìm các giá trị của x để P < $ \displaystyle -\frac{1}{3}$.
c) Tìm các giá trị của x để P có giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 58: Cho biểu thức: Q = $ \displaystyle \frac{{2\sqrt{x}-9}}{{x-5\sqrt{x}+6}}-\frac{{\sqrt{x}+3}}{{\sqrt{x}-2}}-\frac{{2\sqrt{x}+1}}{{3-\sqrt{x}}}$.
a) Tìm các giá trị của x để Q có nghĩa;
b) Rút gọn Q;
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của Q là một số nguyên.
Bài tập 59: Cho biểu thức P = $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{x}+2}}-\frac{5}{{x-\sqrt{x}-6}}-\frac{{\sqrt{x}-2}}{{3-\sqrt{x}}}$.
a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài tập 60: Cho biểu thức P = $ \displaystyle \left( {\frac{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}{{1-\sqrt{{xy}}}}+\frac{{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}{{1+\sqrt{{xy}}}}} \right):\left( {1+\frac{{x+y+2xy}}{{1-xy}}} \right)$.
a) Rút gọn P;
b) Tính giá trị của P với x = $ \displaystyle \frac{2}{{2+\sqrt{3}}}$;
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài tập 61: Cho P = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{{xy}}+\sqrt{x}+2}}+\frac{{\sqrt{y}}}{{\sqrt{{yz}}+\sqrt{y}+1}}+\frac{{2\sqrt{z}}}{{\sqrt{{zx}}+2\sqrt{z}+2}}$.
Biết xyz = 4, tính $ \displaystyle \sqrt{P}$.