Chuyên đề căn bậc hai ôn thi vào lớp 10

Tóm tắt Lý thuyết Căn bậc hai

Định nghĩa:
Căn bậc hai số học của a là số dương x sao cho x² = a. Ta viết:

$ \displaystyle x=\sqrt{a}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x_{{}}^{2}=a\end{array} \right.$

Hằng đẳng thức: $ \displaystyle \sqrt{A_{{}}^{2}}=\left| A \right|$

Phép toán: A ≥ 0; B ≥ 0

$ \displaystyle \sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$ (A ≥ 0; B ≥ 0)

$ \displaystyle \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ (A ≥ 0; B > 0)

Phép biến đổi: $ \displaystyle \sqrt{A_{{}}^{2}.B}=\left| A \right|\sqrt{B}$

Phép trục căn ở mẫu: (A ≥ 0; B > 0)

$ \displaystyle \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\frac{\sqrt{A.B}}{\left| B \right|}$  ;

$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{B}\pm C}=\frac{\sqrt{B}\pm C}{\left| B \right|-C_{{}}^{2}}$   ;

$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{B}\pm \sqrt{C}}=\frac{\sqrt{B}\pm \sqrt{C}}{\left| B \right|-\left| C \right|}$

Căn bậc ba:

1. Khái niệm căn bậc ba:

• Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x³ = a
• Với mọi a thì $ {{(\sqrt[3]{a})}^{3}}=\sqrt[3]{{{a}^{3}}}=a$

2. Tính chất

• Với a < b thì $ \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$
• Với mọi a, b thì $ \sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$
• Với mọi a và b ≠ 0 thì $ \sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$

Căn bậc n: (Kiến thức dành cho học sinh khá giỏi, thi vào lớp chuyên Toán)

1. Căn bậc n (2 ≤ n ∈ N) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a

2. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)

• Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
• Căn bậc lẻ của số dương là số dương
• Căn bậc lẻ của số âm là số âm
• Căn bậc lẻ của số 0 là số 0

3. Căn bậc chẵn (n = 2k )

• Số âm không có căn bậc chẵn
• Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
• Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là $ \sqrt[2k]{a}$ và $ -\sqrt[2k]{a}$

4. Các phép biến đổi căn thức:

• $ \displaystyle \sqrt[2k+1]{A}$ xác định với ∀ A
  $ \sqrt[2k]{A}$ xác định với ∀ A ≥ 0
• $ \sqrt[2k+1]{{{A}^{2k+1}}}=A$ với ∀ A
  $ \sqrt[2k]{{{A}^{2k}}}=\left| A \right|$ với ∀ A
• $ \sqrt[2k+1]{A.B}=\sqrt[2k+1]{A}.\sqrt[2k+1]{B}$ với ∀ A, B
  $ \sqrt[2k]{A.B}=\sqrt[2k]{\left| A \right|}.\sqrt[2k]{\left| B \right|}$ với ∀ A, B mà A.B ≥ 0
• $ \sqrt[2k+1]{{{A}^{2k+1}}.B}=A.\sqrt[2k+1]{B}$ với ∀ A, B
  $ \sqrt[2k]{{{A}^{2k}}.B}=\left| A \right|.\sqrt[2k]{B}$ với ∀ A, B mà B ≥ 0
• $ \sqrt[2k+1]{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt[2k+1]{A}}{\sqrt[2k+1]{B}}$ với ∀ A, B mà B ≠ 0
  $ \sqrt[2k]{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt[2k]{\left| A \right|}}{\sqrt[2k]{\left| B \right|}}$ với ∀ A, B mà B ≠ 0, A.B ≥ 0
• $ \sqrt[m]{\sqrt[n]{A}}=\sqrt[mn]{A}$ với ∀ A, mà A ≥ 0
• $ \sqrt[m]{{{A}^{n}}}={{A}^{\frac{m}{n}}}$ với ∀ A, mà A ≥ 0

Giải bài tập mẫu căn bậc hai

1. Dạng tính căn bậc hai số học

Bài: Tính

$ \displaystyle A=3\sqrt{75}+\sqrt{192}-5\sqrt{108}-\frac{2}{3}\sqrt{243}$

= $ \displaystyle 3\sqrt{25.3}+\sqrt{64.3}-5\sqrt{36.3}-\frac{2}{3}\sqrt{81.3}$

= $ \displaystyle 3\sqrt{5_{{}}^{2}.3}+\sqrt{8_{{}}^{2}.3}-5\sqrt{6_{{}}^{2}.3}-\frac{2}{3}\sqrt{9_{{}}^{2}.3}$

= $ \displaystyle 15\sqrt{3}+8\sqrt{3}-5.6\sqrt{3}-\frac{2}{3}.9\sqrt{3}$

= $ \displaystyle -13\sqrt{3}$

Nhận xét:  Phân tích và áp dụng Phép biến đổi $ \displaystyle \sqrt{A_{{}}^{2}.B}=\left| A \right|\sqrt{B}$

Bài tập rèn luyện

$ \displaystyle B=6\sqrt{80}+5\sqrt{45}+4\sqrt{1.25}-5\sqrt{\frac{1}{5}}$  ;

$ \displaystyle C=\sqrt{7}-\frac{1}{2}\sqrt{28}-20\sqrt{0.07}+\frac{1}{5}\sqrt{175}$

2. Dạng trục căn ở mẫu

Nhận xét:

– Ta trục căn từng phân thức sau đó ghép lại.
– Trước khi trục căn ở mẫu, ta rút gọn phân thức.

Bài tập rèn luyện

3. Dạng căn kép (căn chứa căn)

Phương pháp giải:

– Áp dụng công thức:  (A ± B)² = A² ± 2AB + B²

3. Dạng rút gọn căn thức

Bài tập rèn luyện

$ \displaystyle A=\left( \frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{a-1} \right):\frac{a\sqrt{a}-1}{a\sqrt{a}-2a+\sqrt{a}}$ (a > 0 và a ≠ 1)

4. Dạng phương trình căn

Phương pháp giải:

Định nghĩa:

$ \displaystyle x=\sqrt{a}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x_{{}}^{2}=a\end{array} \right.$ ;

Công thức:

$ \displaystyle \sqrt{A}=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\ge 0\\A=B_{{}}^{2}\end{array} \right.$  ;

$ \displaystyle \sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\ge 0;B\ge 0\\A=B\end{array} \right.$

Giải bài tập mẫu:

Bài:  Tìm x. biết:
Ta có : 5 ≥ 0, nên : x – 3 = 5² = 25
<=> x = 25 + 3
<=> x = 28
Vậy : x = 28

Bài tập rèn luyện

a) $ \displaystyle \sqrt{36x}-\sqrt{25x}=2$

b) $ \displaystyle \sqrt{x_{{}}^{2}+6x+9}+1-2x=0$

c) $ \displaystyle \sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7+6\sqrt{x-2}}=8$