Chuyên đề: Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn

Hôm nay, Toancap2.net cùng các em ôn tập Chuyên đề Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn. Chuyên đề này cũng nằm trong chuyên đề ôn thi vào 10 môn Toán.

Các em cần phải thuộc, ghi nhớ lý thuyết về phương trình bậc nhất, bậc hai và định lý Vi et.

A. Lý thuyết:

I. Phương trình bậc nhất một ẩn

– Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: $ \displaystyle ax+b=0$ trong đó $ \displaystyle x$ là ẩn số a , b  là các số cho trước gọi là các hệ số $ \displaystyle \left( a\ne 0 \right)$.

– Phương pháp giải: $ \displaystyle ax+b=0$ ⇔ $ \displaystyle ax=-b$ ⇔ $ \displaystyle x=\frac{-b}{a}$.

II. Phương trình bậc hai một ẩn

– Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ trong đó $ \displaystyle x$ là ẩn số a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số $ \displaystyle \left( a\ne 0 \right)$.

– Phương pháp giải:

+ Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai: $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ (a ≠ 0) là $ \displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac$

• $ \displaystyle \Delta >0$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $ \displaystyle \,{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$, $ \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$
• $ \displaystyle \Delta =0$: Phương trình có nghiệm kép: $ \displaystyle \,{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a}$.
• $ \displaystyle \Delta <0$: Phương trình vô nghiệm.

+ Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai: $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ (a ≠ 0) là $ \displaystyle {\Delta }’={{{b}’}^{2}}-ac$

• $ \displaystyle {\Delta }’>0$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $ \displaystyle \,{{x}_{1}}=\frac{-{b}’+\sqrt{{{\Delta }’}}}{a}$, $ \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-{b}’-\sqrt{{{\Delta }’}}}{a}$.
• $ \displaystyle {\Delta }’=0$: Phương trình có nghiệm kép: $ \displaystyle \,{{x}_{1}}={{x}_{2}}={{\frac{-b}{a}}^{\prime }}$.
• $ \displaystyle {\Delta }'<0$: Phương trình vô nghiệm.

III. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

– Nếu $ \displaystyle {{x}_{1}}$,  $ \displaystyle {{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình bậc hai $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ (a ≠ 0) thì: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}\\{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\end{array} \right.$.

– Ứng dụng:

• Nếu phương trình $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có $ \displaystyle a+b+c=0$ thì phương trình có hai nghiệm: $ \displaystyle {{x}_{1}}=1$; $ \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{c}{a}$.
• Nếu phương trình $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có $ \displaystyle a-b+c=0$ thì phương trình có hai nghiệm: $ \displaystyle {{x}_{1}}=-1$; $ \displaystyle {{x}_{2}}=-\frac{c}{a}$.
• Nếu hai số $ \displaystyle u$ và $ \displaystyle v$ có $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u+v=S\\u.v=P\end{array} \right.$ thì $ \displaystyle u$ và $ \displaystyle v$ là nghiệm của phương trình $ \displaystyle {{X}^{2}}-SX+P=0$.

( Điều kiện để có u, v là: $ \displaystyle {{S}^{2}}-4P\ge 0$).

B. Các ví dụ

Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất

Ví dụ: Giải các phương trình:

a) $ \displaystyle 2x+1=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm $ \displaystyle x=\frac{-1}{2}$

b) $ \displaystyle x-2018=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow x=2018$

Vậy phương trình có nghiệm $ \displaystyle x=2018$.

c) $ \displaystyle \sqrt{2}x+3\sqrt{2}=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{2}x=-3\sqrt{2}\Leftrightarrow x=-3$

Vậy phương trình có nghiệm $ \displaystyle x=-3$

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai

Ví dụ: Giải các phương trình

a) $ \displaystyle {{x}^{2}}-5x+6=0$

$ \displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4.1.6=1>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$ \displaystyle \,{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5+1}{2}=3$; $ \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5-1}{2}=2$

b) $ \displaystyle {{x}^{2}}-2x-1=0$

c) $ \displaystyle {{x}^{2}}-2x+10=0$

d) $ \displaystyle 9{{x}^{2}}+12x+4=0$

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của phương trình bậc hai cho trước

Ví dụ: Gọi $ \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình: $ \displaystyle {{x}^{2}}+x-2+\sqrt{2}=0$. Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:

$ \displaystyle A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}$;

$ \displaystyle B={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$;

$ \displaystyle C=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$;

$ \displaystyle D={{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}$;

Hướng dẫn giải:

Ta có: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=-1\\P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-2+\sqrt{2}\end{array} \right.$

$ \displaystyle A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{2}}+{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{-1}{-2+\sqrt{2}}$.

$ \displaystyle B={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$ $ \displaystyle ={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $ \displaystyle =1-\left( -2+\sqrt{2} \right)=3-\sqrt{2}$.

$ \displaystyle C=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}$ $ \displaystyle =\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ $ \displaystyle =\sqrt{1-4\left( -2+\sqrt{2} \right)}=2\sqrt{2}-1$.

$ \displaystyle D={{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}$ $ \displaystyle ={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $ \displaystyle =-1+3\left( -2+\sqrt{2} \right)=-7+3\sqrt{2}$.