Đây là bài thứ 9 of 9 trong series Đề thi học sinh giỏi Toán cấp 2 từ 1986-1995
(Thời gian làm bài 180 phút)
BẢNG A
Bài 1:
a) Chứng minh số N sau đây là số chính phương:
b) Tìm số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn điều kiện:
Bài 2:
a) Cho x, y là số thực bất kì khác 0. Chứng minh:
$ \displaystyle \frac{x_{{}}^{2}}{y_{{}}^{2}}+\frac{y_{{}}^{2}}{x_{{}}^{2}}+4\ge 3\left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right)$
b) Giải hệ phương trình sau:
$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x_{{}}^{2}+y_{{}}^{2}+xy=37\\x_{{}}^{2}+z_{{}}^{2}+xz=28\\y_{{}}^{2}+z_{{}}^{2}+yz=19\end{array} \right.$
Bài 3: Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh bằng 4 có cho trước 33 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ các đường tròn có bán kính đều bằng √2, có tâm là các điểm đã cho. Hỏi có hay không ba điểm trong số các điểm nói trên sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của 3 hình tròn có các tâm cũng chính là 3 điểm đó ?
Bài 4: Tam giác ABC có góc A nhọn và có độ dài các cạnh AB = c, AC = b. Một cát tuyến quay quanh trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.
a) Gọi độ dài đoạn AM là x, diện tích tứ giác BMNC là S. Hãy tính S theo b, c, Ab cho trước và x.
b) Xét dự đống biến, nghịch biến của hàm số S theo biến số x trong khoảng xác định của nó và tính giá trị lớn nhất cuả S trong khoảng xác định đó.
c) Dựng tam giác cân AMN sao cho M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, AM = AN và MN
đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
BẢNG B