Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán THPT chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2013-2014

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, chuyên Toán trường THPT chuyên Nguyễn Trãi tỉnh Hải Dương năm học 2013-2014.

Câu I (2,0 điểm)

1) Phân tích đa thức $P(x)={{(3x-2)}^{3}}+{{(1-2x)}^{3}}+{{(1-x)}^{3}}$ thành nhân tử.

2) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c+\sqrt{abc}=4$. Tính giá trị của biểu thức:

$A=\sqrt{a(4-b)(4-c)}+\sqrt{b(4-c)(4-a)}+\sqrt{c(4-a)(4-b)}-\sqrt{abc}$

Câu II ( 2,0 điểm)

1) Giải phương trình $\sqrt{4-{{x}^{2}}}+6=2\sqrt{2+x}+3\sqrt{2-x}$.

2) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5\\xy({{x}^{2}}-{{y}^{2}})=6\end{array} \right.$.

Câu III (2,0 điểm)

1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện ${{x}^{2}}-4xy+5{{y}^{2}}=2(x-y)$.

2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho $\sqrt{1+p+{{p}^{2}}+{{p}^{3}}+{{p}^{4}}}$ là số hữu tỷ.

Câu IV (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

1) Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

2) Chứng minh $\text{AO}\bot \text{EF}$.

3) Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.

Câu V (1,0 điểm)

Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{{{y}^{2}}-yz+{{z}^{2}}}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{{{z}^{2}}-zx+{{x}^{2}}}}{z+x+2y}$