Các phương pháp so sánh 2 lũy thừa với số mũ tự nhiên

Để so sánh 2 lũy thừa với số mũ tự nhiên chúng ta cần nắm được định nghĩa, tính chất của lũy thừa và phương pháp so sánh mà Toán cấp 2 chia sẻ dưới đây.

Trước tiên các em cần nắm vững lý thuyết về lũy thừa với số mũ tự nhiên.

* Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: $\displaystyle {{a}^{n}}=a.a.a.a.a…a$ ( n thừa số a với a ∈ Q ).
Qui ước: $\displaystyle {{a}^{0}}=1(a\ne 0)$ và $\displaystyle {{a}^{1}}=a$.

* Các phép tính luỹ thừa:
– Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: $\displaystyle {{a}^{m}}\cdot {{a}^{n}}={{a}^{{m+n}}}$ .
– Chia hai luỹ thừa cùng cơ số : $\displaystyle {{a}^{m}}:{{a}^{n}}={{a}^{{m-n}}}\,(a\ne 0;m\ge n)$.
– Luỹ thừa của một tích: $\displaystyle {{(a\cdot b)}^{n}}={{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}$.
– Luỹ thừa của một thương: $\displaystyle {{(a:b)}^{n}}={{a}^{n}}:{{b}^{n}}(b\ne 0)$.
– Luỹ thừa của luỹ thừa: $\displaystyle {{\left( {{{a}^{m}}} \right)}^{n}}={{a}^{{m\cdot n}}}$.
– Luỹ thừa tầng: $\displaystyle {{\mathbf{a}}^{{{{\text{m}}^{\text{n}}}}}}={{\mathbf{a}}^{{\left( {{{\text{m}}^{\text{n}}}} \right)}}}$

Ví dụ: $\displaystyle {{3}^{{{{\text{2}}^{3}}}}}={{3}^{8}}$.
– Luỹ thừa với số mũ âm: $\displaystyle {{\text{a}}^{{-\text{n}}}}=\frac{1}{{{{\text{a}}^{\text{n}}}}}(\text{a}\ne 0)$

Ví dụ: $\displaystyle {{10}^{{-3}}}=\frac{1}{{{{{10}}^{3}}}}$

Các phương pháp so sánh 2 lũy thừa với số mũ tự nhiên

I/ Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ .

– Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số:

+ Khi cơ số lớn hơn 1, thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn:

$\displaystyle {{a}^{m}}>{{a}^{n}}\quad (a>1)\Rightarrow m>n$

+ Khi cơ số nhỏ hơn 1, thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ bé hơn:

$a^{m}>a^{n} \quad(a<1) \Rightarrow m>n$

+ Khi cơ số bằng 1, thì hai luỹ thừa bằng nhau với mọi số mũ tự nhiên.

– Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn .

$\displaystyle {{a}^{n}}>{{b}^{n}}(n>0)\Rightarrow a>b$

II/ Phương pháp 2: So sánh thừa số riêng trong tích:
Xét: $\displaystyle {{a}^{n}}$ biến đổi được về dạng: $\displaystyle c.{{\text{d}}^{k}}$

$\displaystyle {{b}^{m}}$ biến đổi được về dạng: $\displaystyle e.{{\text{d}}^{k}}$

+ Nếu $\displaystyle c<e$ thì $\displaystyle c.{{\text{d}}^{k}}<e.{{d}^{k}}\Rightarrow {{a}^{n}}<{{b}^{m}}$.

+ Nếu $\displaystyle c>e$ thì $\displaystyle c.{{\text{d}}^{k}}>e.{{d}^{k}}\Rightarrow {{a}^{n}}>{{b}^{m}}$.

III/ Phương pháp 3: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân:

Nếu $\displaystyle A>B$ và $\displaystyle B>C$ thì $\displaystyle A>C$

Nếu $\displaystyle A.C<B.C$ (với C > 0 ) $\displaystyle \Rightarrow A<B$

IV/ Phương pháp 4:

Xét: $\displaystyle {{a}^{n}}$ biến đổi được về dạng: $\displaystyle {{c}^{q}}\cdot {{d}^{k}}$

$\displaystyle {{b}^{m}}$ biến đổi được về dạng: $\displaystyle {{e}^{p}}\cdot {{q}^{h}}$h

Nếu$\displaystyle {{c}^{q}}<{{e}^{p}}$ và $\displaystyle {{d}^{k}}<{{g}^{h}}$ thì $\displaystyle {{c}^{q}}\cdot {{d}^{k}}<{{e}^{p}}\cdot {{g}^{h}}$.