WebToan.Com là thư viện mở ngành Toán học NÊN sao chép, chia sẻ, KHÔNG NÊN thương mại hoá.

Cách chứng minh một số là số chính phương – Bồi dưỡng HSG lớp 6

Toán cấp 2 giới thiệu với các bạn phương pháp, cách chứng minh một số là số chính phương qua các bài toán minh họa có lời giải.

Các bạn đã được giới thiệu các phương pháp chứng minh một số không phải là số chính phương trong TTT2 số 9. Bài viết này, tôi muốn giới thiệu với các bạn bài toán chứng minh một số là số chính phương.

Phương pháp 1:  Dựa vào định nghĩa

Ta biết rằng, số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. Dựa vào định nghĩa này, ta có thể định hướng giải quyết các bài toán.

Bài toán 1:  Chứng minh:  Với mọi số tự nhiên n thì  an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Lời giải:  Ta có:
an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1

= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1

= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1

= (n2 + 3n + 1)2

Với n là số tự nhiên thì n2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, an là số chính phương.

Bài toán 2:  Chứng minh số: 3258 0 là số chính phương.

Lời giải:
Ta có:

3258 1

Vậy: 3258 2 là số chính phương.

Phương pháp 2:  Dựa vào tính chất đặc biệt

Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt:  “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương”.

Bài toán 3:  Chứng minh rằng:  Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m – n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

👉 Để CHẤT LƯỢNG TÀI LIỆU đến các em học sinh và giáo viên được tốt nhất. Mọi người vui lòng nhập mật khẩu vào ô bên trên

🔎 Lấy mật khẩu bằng cách xem hướng dẫn từ video này

‼️‼️‼️ Hướng dẫn lấy mật khẩu (làm theo video bên dưới)

🔜 Sau khi lấy được Mã thì quay lại điền vào ô Nhập Mật Khẩu ở trên

1600221870 cua cuon cuacuonsg

Lời giải:

Ta có:  3m2 + m = 4n2 + n
tương đương với 4(m2 – n2) + (m – n) = m2
hay là (m – n)(4m + 4n + 1) = m2 (*)

Gọi d là ước chung lớn nhất của m – n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m – n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d.

Mặt khác, từ (*) ta có:  m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d.

Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.

Vậy m – n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. Cuối cùng xin gửi tới các bạn một số bài toán thú vị về số chính phương:

3258 3

1) Chứng minh các số sau đây là số chính phương:

2) Cho các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn:  1/a + 1/b = 1/c. Hãy cho biết a + b có là số chính phương hay không ?

3) Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n thì 3n + 4 không là số chính phương.

4) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 là số chính phương.

5) Chứng minh:  Nếu: $ \displaystyle a=2+2\sqrt{{12{{n}^{2}}+1}}$ và n là hai số tự nhiên thì a là số chính phương.

★★★ Danh sách các tài liệu, đề thi HOT ★★★

✔️ 240+ Đề thi toán lớp 9

✔️ 10+ Đề thi học sinh giỏi quốc gia

Bình luận
0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
Bình luận fb
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x