Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Đây là bài thứ 3 of 15 trong series Chuyên đề: Bất đẳng thức THCS

Bằng các phép biến đổi tương đương chúng ta biến đổi bất đẳng thức (BĐT) cần chứng minh về bất đẳng thức đúng (đã được thừa nhận).

* Cấu trúc của phương pháp:

Để chứng minh A > B ta dùng các tính chất của BĐT để biến đổi sao cho:

A > B  ⇔ …..⇔ C > D

Trong đó bất đẳng thức C >D là một BĐT đúng (được thừa nhận).

Từ đó đi đến kết luận.

Ví dụ 1: Cho a và b là hai số cùng dấu:

Chứng minh rằng: $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$

Giải

Giả sử: $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$  (1)

⇔ a² + b² ≥ 2ab    (vì a và b cùng dấu nên ab > 0)

⇔ a² + b² –  2ab ≥ 0

⇔ (a – b)² ≥ 0   (2)

Vì BĐT (2) là BĐT đúng . Mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng.

Vậy $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$ (với a và b cùng dấu)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Ví dụ 2:

Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 1.

Chứng minh rằng: a³ + b³ + ab $\ge \frac{1}{2}$

Giải:

Giả sử   a³ + b³ + ab ≥ $\frac{1}{2}$       (1)

⇔ a³ + b³ + ab – $\frac{1}{2}$ ≥ 0

⇔ (a + b)(a² + b² – ab) + ab – $\frac{1}{2}$ ≥ 0

⇔ a² + b² – $\frac{1}{2}$ ≥ 0              (vì a + b = 1)

⇔ 2a² + 2 b² – 1 ≥ 0

⇔ 2a² + 2(1 – a)² – 1 ≥ 0         (vì b = 1- a)

⇔ 4a² – 4a + 1 ≥ 0

⇔ (2a – 1)² ≥ 0       (2)

Bất đẳng thức (2) là BĐT đúng, mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng.

Vậy a³ + b³ + ab ≥ $\frac{1}{2}$        (với a + b = 1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = $\frac{1}{2}$

Ví dụ 3: Cho a và b là hai số dương. Chứng minh rằng: $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$

Giải

Giả sử:  $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$  (1)

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{b+a}{ab}\ge \frac{4}{a+b}$

$\displaystyle \Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab$  (vì a > 0 và b > 0)

⇔ a² + 2ab + b² – 4ab ≥ 0

⇔ a² – 2ab + b² ≥ 0

⇔ (a – b)² ≥ 0                 (2)

Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng.

Vậy: $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$ (với a > 0, b > 0)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b