WebToan.Com là thư viện mở ngành Toán học NÊN sao chép, chia sẻ, KHÔNG NÊN thương mại hoá.

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Đây là bài thứ 3 of 15 trong series Chuyên đề: Bất đẳng thức THCS

Bằng các phép biến đổi tương đương chúng ta biến đổi bất đẳng thức (BĐT) cần chứng minh về bất đẳng thức đúng (đã được thừa nhận).

* Cấu trúc của phương pháp:

Để chứng minh A > B ta dùng các tính chất của BĐT để biến đổi sao cho:

A > B  ⇔ …..⇔ C > D

Trong đó bất đẳng thức C >D là một BĐT đúng (được thừa nhận).

Từ đó đi đến kết luận.

Ví dụ 1: Cho a và b là hai số cùng dấu:

Chứng minh rằng: $ \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$

Giải

Giả sử: $ \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$  (1)

⇔ a2 + b2 ≥ 2ab    (vì a và b cùng dấu nên ab > 0)

⇔ a2 + b2 –  2ab ≥ 0

⇔ (a – b)2 ≥ 0   (2)

Vì BĐT (2) là BĐT đúng . Mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng.

Vậy $ \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$ (với a và b cùng dấu)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Ví dụ 2:

Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 1.

Chứng minh rằng: a3 + b3 + ab $ \ge \frac{1}{2}$

Giải:

Giả sử   a3 + b3 + ab ≥ $ \frac{1}{2}$       (1)

⇔ a3 + b3 + ab – $ \frac{1}{2}$ ≥ 0

⇔ (a + b)(a2 + b2 – ab) + ab – $ \frac{1}{2}$ ≥ 0

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

👉 Để CHẤT LƯỢNG TÀI LIỆU đến các em học sinh và giáo viên được tốt nhất. Mọi người vui lòng nhập mật khẩu vào ô bên trên

🔎 Lấy mật khẩu bằng cách xem hướng dẫn từ video này

‼️‼️‼️ Hướng dẫn lấy mật khẩu (làm theo video bên dưới)

🔜 Sau khi lấy được Mã thì quay lại điền vào ô Nhập Mật Khẩu ở trên

hình nè

⇔ a2 + b2 – $ \frac{1}{2}$ ≥ 0              (vì a + b = 1)

⇔ 2a2 + 2 b2 – 1 ≥ 0

⇔ 2a2 + 2(1 – a)2 – 1 ≥ 0         (vì b = 1- a)

⇔ 4a2 – 4a + 1 ≥ 0

⇔ (2a – 1)2 ≥ 0       (2)

Bất đẳng thức (2) là BĐT đúng, mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng.

Vậy a3 + b3 + ab ≥ $ \frac{1}{2}$        (với a + b = 1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = $ \frac{1}{2}$

Ví dụ 3: Cho a và b là hai số dương. Chứng minh rằng: $ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$

Giải

Giả sử:  $ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$  (1)

$ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{b+a}{ab}\ge \frac{4}{a+b}$

$ \displaystyle \Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab$  (vì a > 0 và b > 0)

⇔ a2 + 2ab + b2 – 4ab ≥ 0

⇔ a2 – 2ab + b2 ≥ 0

⇔ (a – b)2 ≥ 0                 (2)

Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng.

Vậy: $ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$ (với a > 0, b > 0)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

★★★ Danh sách các tài liệu, đề thi HOT ★★★

✔️ 240+ Đề thi toán lớp 9

✔️ 10+ Đề thi học sinh giỏi quốc gia

Bình luận
0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
Bình luận fb
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x