WebToan.Com là thư viện mở ngành Toán học NÊN sao chép, chia sẻ, KHÔNG NÊN thương mại hoá.

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội, làm giảm

Đây là bài thứ 6 of 15 trong series Chuyên đề: Bất đẳng thức THCS

Bằng phương pháp làm trội, làm giảm chúng ta có thể chứng minh được một số dạng bài tập bất đẳng thức. Các em xem ví dụ dưới đây để rõ về phương pháp này.

Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng: $ \displaystyle 1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2$

Giải

Ta có : $ \displaystyle \frac{a}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}$ ; $ \displaystyle \frac{b}{a+b+c}<\frac{b}{b+c}$  ; $ \displaystyle \frac{c}{a+b+c}<\frac{c}{c+a}$

Suy ra: $ \displaystyle \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

⇔ $ \displaystyle 1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

Ta lại có: $ \displaystyle \frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c}$ (điều này dễ chứng minh được)

Tương tự:

$ \displaystyle \frac{b}{b+c}<\frac{a+b}{a+b+c}$ ;

$ \displaystyle \frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c}$

Suy ra: $ \displaystyle \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{2\left( a+b+c \right)}{a+b+c}$ = 2

⇔ $ \displaystyle \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2$

Vậy: $ \displaystyle 1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2$

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

👉 Để CHẤT LƯỢNG TÀI LIỆU đến các em học sinh và giáo viên được tốt nhất. Mọi người vui lòng nhập mật khẩu vào ô bên trên

🔎 Lấy mật khẩu bằng cách xem hướng dẫn từ video này

‼️‼️‼️ Hướng dẫn lấy mật khẩu (làm theo video bên dưới)

🔜 Sau khi lấy được Mã thì quay lại điền vào ô Nhập Mật Khẩu ở trên

hình nè

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 thì:

$ \displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+…+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1$

Giải

Ta có : $ \displaystyle \frac{1}{{{k}^{2}}}=\frac{1}{k.k}<\frac{1}{k\left( k-1 \right)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$

Nên:

$ \displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}<\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$ ;

$ \displaystyle \frac{1}{{{3}^{2}}}<\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

……..

$ \displaystyle \frac{1}{{{n}^{2}}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

Suy ra: $ \displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+…+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1-\frac{1}{n}$ <1

Vậy: $ \displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+…+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1$

★★★ Danh sách các tài liệu, đề thi HOT ★★★

✔️ 240+ Đề thi toán lớp 9

✔️ 10+ Đề thi học sinh giỏi quốc gia

Bình luận
0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
Bình luận fb
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x