WebToan.Com là thư viện mở ngành Toán học NÊN sao chép, chia sẻ, KHÔNG NÊN thương mại hoá.

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Đây là bài thứ 5 of 15 trong series Chuyên đề: Bất đẳng thức THCS

Phương pháp phản chứng ít khi được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức cấp 2 tuy nhiên phương pháp này khá hữu dụng trong một số bài toán.

* Cấu trúc của phương pháp.

– Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh

– Chứng tỏ điều giả sử đó là sai (tức là mâu thuẫn với kiến thức nào đó đã biết)

– Kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng.

Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.

$ \displaystyle a+\frac{1}{b}<2$ ; $ \displaystyle b+\frac{1}{c}<2$  ; $ \displaystyle c+\frac{1}{a}<2$

Giải

Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả ba BĐT:

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

$ \displaystyle a+\frac{1}{b}<2$ ; $ \displaystyle b+\frac{1}{c}<2$  ; $ \displaystyle c+\frac{1}{a}<2$

Suy ra : $ \displaystyle a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c+\frac{1}{a}<6$ ⇔ $ \displaystyle \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)<6$      (*)

Mà: $ \displaystyle a+\frac{1}{a}\ge 2$ (a > 0) ;  $ \displaystyle b+\frac{1}{b}\ge 2$ (b > 0)   ; $ \displaystyle c+\frac{1}{c}\ge 2$ (c > 0)

$ \displaystyle \Rightarrow \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)\ge 6$

Do đó (*) vô lý.

Vậy: Không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.

$ \displaystyle a+\frac{1}{b}<2$ ; $ \displaystyle b+\frac{1}{c}<2$  ; $ \displaystyle c+\frac{1}{a}<2$

★★★ Danh sách các tài liệu, đề thi HOT ★★★

✔️ 240+ Đề thi toán lớp 9

✔️ 10+ Đề thi học sinh giỏi quốc gia

Bình luận
0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
Bình luận fb
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x