Các bất đẳng thức luôn đúng áp dụng ở đây là:
| (x)2 ≥ 0 với mọi x thuộc R. |
| -(x)2 ≤ 0 với mọi x thuộc R. |
Ngoài ra các em phải ghi nhớ thêm 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
Bây giờ đi vào giải các bài toán cho dễ hiểu:
Bài toán 1: Chứng minh bất đẳng thức
a2/4+ b2 ≥ ab
Giải.
Xét :VT – VP = a2/4+ b2 – ab = (a/2)2 – 2ba/2 + b2 = (a – b) 2
Ta luôn có : (a – b)2 ≥ 0 với mọi a,b thuộc R
Suy ra : VT – VP ≥ 0
Vậy : a2/4+ b2 ≥ ab
Bài toán 2: Chứng minh bất đẳng thức
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac với mọi a, b,c thuộc R
Giải.
Xét :VT – VP = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac
2(VT – VP) = 2(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
= (a2 – 2ab + b2) + (a2 – 2ac + c2) + (b2 – 2bc + c2)
= (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2
Ta luôn có : (a – b)2 ≥ 0 với mọi a,b thuộc R
(a – c)2 ≥ 0 với mọi a,c thuộc R
(b – c)2 ≥ 0 với mọi b,c thuộc R
Suy ra : (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 ≥ 0 với mọi a, b,c thuộc R
Hay : VT – VP = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac ≥ 0 với mọi a, b,c thuộc R
Vậy : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac
Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thức
a4 + b4 ≥ a3b + ab3
Giải.
Xét :VT – VP = a4 + b4 – a3b – ab3
= (a4 – a3b) + (b4– ab3)
= a3(a – b) – b3(a – b)
= (a – b) (a3– b3)
= (a – b) 2 (a2+ ab + b2) = (a – b) 2 [(a+b/2)2 + 3b2/4)]
Ta luôn có : (a – b)2 ≥ 0 với mọi a,b thuộc R
(a+b/2)2 + 3b2/4) ≥ 0 với mọi a,b thuộc R
Suy ra : VT – VP ≥ 0
Vậy : a4 + b4 ≥ a3b + ab3