Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau :
– Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
– Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa cùng biến đó trong B.
– Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
Với mọi x 0, m, n N, m n ta có :
xm : xn = xm-n (nếu m > n)
xm : xn = 1 (nếu m = n)
(xm)n = xm.n
x0 = 1 ; 1n = 1
(-x)n = xn nếu n là một số chẵn
(-x)n = -xn nếu n là số lẻ
(x – y)2 = (y – x)2
(x – y)n = (y – x)n với n là số chẵn
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a là f(a)
Hệ quả : Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức bậc nhất x – a khi và chỉ khi f(a) = 0
Bài toán 1 : Thực hiện phép tính chia đơn thức cho đơn thức.
a) 10x3y2z : (-4xy2z) f) ($ \displaystyle -\frac{3}{5}$xy5z) : ($ \displaystyle -\frac{1}{2}$xy4)
b) $ \displaystyle \frac{3}{2}$x2y3z4 : $ \displaystyle \frac{1}{4}$y2z g) x3y4 : x3y
c) 25x4y5z3 : (-3xy2z) h) 18x2y2z : 6xyz
d) 5x3y2z : (-2xyz) i) 27x4y2z : 9x4y
e) (-12x5y4) : (-4x2y) k) 5x3y : $ \displaystyle \frac{2}{3}$xy
Bài toán 2 : Thực hiện phép tính.
a) (4x5 – 8x3) : (-2x3)
b) (9x3 – 12x2 + 3x) : (-3x)
c) (xy2 + 4x2y3 – 3x3y4) : (-2xy2)
d) (-3x2y3 + 4x3y4 – y4y5) : (-x2y3)
e) [2(x – y)3 – 7(y – x)2 – (y – x)] : (x – y)
f) [3(x – y)5 – 2(x – y)4 + 3(x – y)2] : [5(x – y)2]
Bài toán 3 : Thực hiện phép chia.
a) (2x3 – 5x2 – x + 1) : (2x + 1)
b) (x3 – 2x + 4) : (x + 2)
c) (6x3 – 19x2 + 23x – 12) : (2x – 3)
d) (x4 – 2x3 – 1 + 2x) : (x2 – 1)
e) (6x3 – 5x2 + 4x – 1) : (2x2 – x + 1)
f) (x4 – 5x2 + 4) : (x2 – 3x + 2)
g) ( x3 – 2x2 – 5x + 6 ) : ( x + 2 )
h) ( x3 – 2x2 + 5x + 8) : ( x + 1 )
Bài toán 4 : Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R biết.
a) A = x4 + 3x3 + 2x2 – x – 4 và B = x2 – 2x + 3
b) A = 2x3 – 3x2 + 6x – 4 và B = x2 – x + 3
c) A = 2x4 + x3 + 3x2 + 4x + 9 và B = x2 + 1
d) A = 2x3 – 11x2 + 19x – 6 và B = x2 – 3x + 1
e) A = 2x4 – x3 – x2 – x + 1 và B = x2 + 1
Phương pháp giải : Từ điều kiện đề bài trên, ta đặt phép chia A : B được kết quả là thương Q và dư R.
Ví dụ : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị biểu thức 4n3 – 4n2 – n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n + 1.
Giải :
Thực hiện phép chia 4n3 – 4n2 – n + 4 cho 2n + 1, ta được :
4n3 – 4n2 – n + 4 = (2n + 1).(n2 + 1) + 3
Từ đó, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho 2n + 1, tức là cần tìm giá trị nguyên của n để 2n + 1 là ước của 3, ta được :
2n + 1 = 3 n = 1
2n + 1 = 1 n = 0
2n + 1 = -3 n = -2
2n + 1 = -1 n = -1
Vậy n = 1, n = 0, n = 2 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Bài toán 5 : Tìm m sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B biết.
a) A = 8x2 – 26x + m và B = 2x – 3
b) A = x3 + 4x2 + 4x + m và B = x + 3
c) A = x3 – 13x + m và B = x2 + 4x + 3
d) A = x4 + 5x3 – x2 – 17x + m + 4 và B = x2 + 2x – 3
e) A = 2x4 + mx3 – mx – 2 và B = x2 – 1
Bài toán 6 : Cho các đa thức sau:
A = x3 + 4×2 + 3x – 7
B = x + 4
a) Tính A : B
b) Tìm x ∈ Z sao cho A chia hết cho B
Bài toán 7 : Tìm x, biết.
a) (8x2 – 4x) : (-4x) – (x + 2) = 8
b) (2x4 – 3x3 + x2) : (-x2) + 4(x – 1)2 = 0
Bài toán 8 : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B biết.
a) A = 8n2 – 4n + 1 và B = 2n + 1
b) A = 3n3 + 8n2 – 15n + 6 và B = 3n – 1
c) A = 4n3 – 2n2 – 6n + 5 và B = 2n – 1
Bài toán 9 : Không làm phép chia hãy tìm số dư khi :
a) Khi f(x) = x3 + 2x2 – 4x + 3 chia cho x – 2
b) Khi f(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1 chia cho x + 1
c) Khi f(x) = x3 – 3x2 + 4x – 5 chia cho x – 2
d) Khi f(x) = x27 + x9 + x3 + x chia cho x – 1
Bài toán 10 : Chứng minh :
a) x50 + x10 + 1 chia hết cho x20 + x10 + 1
b) x2012 + x2008 + 1 chia hết cho x2 + x + 1