Chuyên đề: Hệ phương trình bậc nhất có chứa tham số

Hệ phương trình bậc nhất có chứa tham số là một dạng toán khó trong chương trình trung học cơ sở. Để nâng cao kiến thức cho các em học sinh Toán cấp 2 chia sẻ chuyên đề này.

Chuyên đề hệ PT bậc nhất có tham số với các dạng toán thường gặp và ví dụ có lời giải.

PHẦN I. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

1. Dạng 1: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số $m$

– Phương pháp:

+ Bước 1: Đưa hệ phương trình về phương trình bậc nhất dạng $ax+b=0$ (Dùng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,…)

+ Bước 2: Xét phương trình $ax+b=0\,\,\,\,\left( 1 \right)$($a,b$ là hằng số)

TH 1: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow a\ne 0$ ⇒ phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{b}{a}$.

TH 2: Phương trình (1) vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=0\\b\ne 0\end{array} \right.$.

TH 3: Phương trình (1) có vô số nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=0\\b=0\end{array} \right.$.

+ Bước 3: Kết luận.

2. Dạng 2: Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm $\left( x;y \right)$ thỏa điều kiện cho trước

– Phương pháp:

+ Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm $\left( x;y \right)$ theo tham số $m$;

+ Bước 2: Thế nghiệm vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm $m$;

+ Bước 3: Kết luận.

3. Dạng 3: Tìm mối liên hệ giữa không phụ thuộc vào tham số $m$

– Phương pháp:

+ Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm $\left( x;y \right)$ theo tham số $m$;

+ Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế làm mất tham số $m$;

+ Bước 3: Kết luận.

PHẦN II. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tìm $\displaystyle a,b$ biết hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x+by=a\\bx+ay=5\end{array} \right.$ có nghiệm $\displaystyle x=1$; $\displaystyle y=3$

Lời giải

Thay $\displaystyle x=1$; $\displaystyle y=3$  vào hệ ta có:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2.1+b.3=a\\b.1+a.3=5\end{array} \right.$ ⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}a-3b=2\\3a+b=5\end{array} \right.$ ⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3a-9b=6\\3a+b=5\end{array} \right.$ ⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}10b=-1\\3a+b=5\end{array} \right.$ ⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}b=\frac{-1}{10}\\a=\frac{17}{10}\end{array} \right.$

Vậy $\displaystyle a=\frac{-1}{10}$; $\displaystyle y=\frac{17}{10}$ thì hệ phương trình có nghiệm $\displaystyle x=1$; $\displaystyle y=3$

Bài 2: Cho hệ phương trình $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y=m+3\\2x-3y=m\end{array} \right.$ $\displaystyle \left( I \right)$ ($\displaystyle m$ là tham số) .

a) Giải hệ phương trình $\displaystyle \left( I \right)$ khi $\displaystyle m=1$.

b) Tìm $\displaystyle m$ để hệ $\displaystyle \left( I \right)$ có nghiệm duy nhất $\displaystyle \left( x;y \right)$ thỏa mãn $\displaystyle x+y=-3$.

Lời giải

a) Với $\displaystyle m=1$, hệ phương trình $\displaystyle \left( I \right)$ có dạng:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y=4\\2x-3y=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x+4y=8\\2x-3y=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=1\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\displaystyle \left( x,y \right)=\left( 2;1 \right)$.

b) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y=m+3\\2x-3y=m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x+4y=2m+6\\2x-3y=m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+2y=m+3\\7y=m+6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{5m+9}{7}\\y=\frac{m+6}{7}\end{array} \right.$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\displaystyle \left( x;y \right)=\left( \frac{5m+9}{7};\frac{m+6}{7} \right)$.

Lại có $\displaystyle x+y=-3$ hay $\displaystyle \frac{5m+9}{7}+\frac{m+6}{7}=-3\Leftrightarrow 5m+9+m+6=-21\Leftrightarrow 6m=-36\Leftrightarrow m=-6$

Vậy với $\displaystyle m=-6$ thì hệ phương trình $\displaystyle \left( I \right)$ có nghiệm duy nhất $\displaystyle \left( x,y \right)$ thỏa mãn $\displaystyle x+y=-3$.

Bài 3: Cho hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x+y=5m-1\\x-2y=2\end{array} \right.$

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: $\displaystyle {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}=-2$

Lời giải

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x+y=5m-1\\x-2y=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=5m-1-2x\\x-2(5m-1-2x)=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=5m-1-2x\\5x=10m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2m\\y=m-1\end{array} \right.$

Thay vào ta có

$\displaystyle {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}=-2\Leftrightarrow {{(2m)}^{2}}-2{{(m-1)}^{2}}=-2\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+4m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m=0\\m=-2\end{array} \right.$

Vậy $\displaystyle m\in \left\{ 2;0 \right\}$.

Bài 4: Cho hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(m-1)x+y=2\\mx+y=m+1\end{array} \right.$ ($\displaystyle m$ là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi $\displaystyle m=2$;

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $\displaystyle m$ thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\displaystyle \left( x;y \right)$ thỏa mãn: $\displaystyle 2x+y\le \text{3}$.

Lời giải

a) Giải hệ phương trình khi $\displaystyle m=2$.

Ta có: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+y=2\\2x+y=3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+y=2\\x=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=1\end{array} \right.$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\displaystyle \left( 1;1 \right)$.

b) Ta có $\displaystyle y=2\left( m-1 \right)x$ thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

$\displaystyle mx+2\left( m-1 \right)x=m+1\Leftrightarrow x=m1$ suy ra $\displaystyle y=2{{\left( m-1 \right)}^{2}}$ với mọi $\displaystyle m$

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\displaystyle \left( x;y \right)=\left( m-1;2{{\left( m-1 \right)}^{2}} \right)$

$\displaystyle 2x+\text{ }y=2\left( m-1 \right)+2{{\left( m-1 \right)}^{2}}=-{{m}^{2}}+4m-1=3{{\left( m-2 \right)}^{2}}\le 3$ với mọi $\displaystyle m$.

Bài 5: Cho hệ phương trình $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x+y=2m+9\\x+y=5\end{array} \right.$ có nghiệm $\displaystyle \left( x;y \right)$. Tìm $\displaystyle m$ để biểu thức $\displaystyle A=xy+x-1$ đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x+y=2m+9\\x+y=5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=m+2\\y=3-m\end{array} \right.\Rightarrow A=xy+x-1=8-{{\left( m-1 \right)}^{2}}$ ⇒ $\displaystyle {{A}_{max}}=8$ khi $\displaystyle m=1$.

Bài 6: Cho hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+my=m+1\\mx+y=2m\end{array} \right.$ ($\displaystyle m$ là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi $\displaystyle m=2$.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm $\displaystyle \left( x;y \right)$ duy nhất thỏa mãn $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\ge 2\\y\ge 1\end{array} \right.$

Lời giải

a) Thay $\displaystyle m=1$ ta có hệ phương trình $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y=3\\2x+y=4\end{array} \right.$ ⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y=3\\4x+2y=8\end{array} \right.$ ⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x=5\\2x+y=4\end{array} \right.$ ⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{5}{3}\\y=\frac{2}{3}\end{array} \right.$

b) Xét hệ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+my=m+1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\mx+y=2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ (2) $\displaystyle \Rightarrow y=2m-mx$ thay vào (1) ta được $\displaystyle x+m\left( 2m-mx \right)=m+1\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-{{m}^{2}}x+x=m+1$

⇔ $\displaystyle \left( {1-{{m}^{2}}} \right)x=-2{{m}^{2}}+m+1$

⇔ $\displaystyle \left( {{{m}^{2}}-1} \right)x=2{{m}^{2}}-m-1=(m-1)\left( {2m+1} \right)$  (3)

Hệ phương trình đã cho $\displaystyle \Leftrightarrow \left( 3 \right)$ có nghiệm duy nhất có nghiệm duy nhất $\displaystyle {{m}^{2}}-1\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 1$ (*)

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{2m+1}{m+1}\\y=\frac{m}{m+1}\end{array} \right.$

Ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\ge 2\\y\ge 1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2m+1}{m+1}\ge 2\\\frac{m}{m+1}\ge 1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{-1}{m+1}\ge 0\\\frac{-1}{m+1}\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m+1<0\Leftrightarrow m<-1$

Kết hợp với (*) ta được giá trị $\displaystyle m$ cần tìm là $\displaystyle m<-1$.

Bài 7: Cho hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right|+x+\left| y \right|+y=2015\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\left| x \right|-x+\left| y \right|-y=k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$ (k là số cho trước).

Biết rằng hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt $\displaystyle \left( x;y \right)=\left\{ \left( a;b \right);\left( c;d \right) \right\}$. Tính tổng $\displaystyle a+b+c+d$ theo $\displaystyle k$.

Lời giải

Trừ vế theo vế của  cho ta có: $\displaystyle 2x+2y=2015-k\Leftrightarrow 2\left( x+y \right)=2015-k$ (3)

Vì hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt nên ta có: $\displaystyle 2\left( x+y \right)=a+b+c+d$.  (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\displaystyle a+b+c+d=2015-k$.