Chuyên đề: Hệ phương trình đối xứng

Dạng toán hệ phương trình đối xứng là một dạng bài tập xuất hiện trong đề thi Toán tuyển sinh vào 10 các trường chuyên. Hệ PT đối xứng chia ra làm 2 dạng là loại 1 và loại 2.

Dưới đây là lý thuyết và bài tập về chuyên đề này.

I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.

– Phương trình $\displaystyle n$ ẩn $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}},\text{ }…,{{x}_{n}}$ gọi là đối xứng với $\displaystyle n$ ẩn nếu thay $\displaystyle {{x}_{i}}$ bởi $\displaystyle {{x}_{j}};~{{x}_{j}}$ bởi $\displaystyle {{x}_{i}}$ thì phương trình không thay đổi.

– Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:

$\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\text{ }…\text{ }+{{x}_{n}}$

$\displaystyle {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}+\text{ }…\text{ }+{{x}_{1}}{{x}_{n}}+{{x}_{2}}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+\text{ }…\text{ }+{{x}_{n-1}}{{x}_{n}}$

………………………….

$\displaystyle {{x}_{1}}{{x}_{2}}…{{x}_{n}}$

– Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.

– Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.

* Nếu đa thức $\displaystyle F\left( x \right)\text{ }={{a}_{0}}{{x}^{n}}~+{{a}_{1}}{{x}^{n}}^{-1}+…{{a}_{n}},{{a}_{0}}\ne \text{ }0,{{a}_{i}}\in P$ có nghiệm trên $\displaystyle P$ là $\displaystyle {{c}_{1}},\text{ }…,{{c}_{n}}$ thì:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+…\text{ }+{{c}_{n}}=-\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{0}}}\\{{c}_{1}}{{c}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{3}}+\text{ }…\text{ }+{{c}_{1}}{{c}_{n}}+{{c}_{2}}{{c}_{1}}+{{c}_{2}}{{c}_{3}}+…\text{ }+{{c}_{n-1}}{{c}_{n}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{0}}}\\………………………….\\{{c}_{1}}{{c}_{1}}\text{ }…\text{ }{{c}_{n}}={{(-1)}^{n}}.\frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{0}}}\end{array} \right.$

(Định lý Viét tổng quát)

Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:

1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:

Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thì:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\text{ }=-\frac{b}{a}\\P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\end{array} \right.$

Ngược lại, nếu 2 số x₁, x₂  có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\text{ }{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=S\\\text{ }{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=P\end{array} \right.$ thì $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $\displaystyle {{X}^{2}}-SX\text{ }+P=\text{ }0.$

2. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn có dạng

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=0\\g(x,y)=0\end{array} \right.$, trong đó $\left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=f(y,x)\\g(x,y)=g(y,x)\end{array} \right.$.

3. Cách giải:

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và ${{S}^{2}}\ge 4P$.

Bước 3: Thay $\displaystyle x,y$ bởi $\displaystyle S,P$ vào hệ phương trình. Giải hệ tìm $\displaystyle S,P$ rồi dùng Viét đảo tìm $\displaystyle x,y$.

Chú ý:

+ Cần nhớ: $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{S}^{2}}\text{ }2P,{{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{S}^{3}}\text{ }3SP.$

+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ $\displaystyle u=u\left( x \right),v=v\left( x \right)$ và $\displaystyle S=u+v,\text{ }P\text{ }=uv.$

+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.

4. Bài tập:

Loại 1: Giải hệ phương trình

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=30\\{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=35\end{array} \right.$.

GIẢI

Đặt $\text{S}=x+y,\text{ P}=xy$, điều kiện ${{S}^{2}}\ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l}SP=30\\S({{S}^{2}}-3P)=35\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P=\frac{30}{S}\\S\left( {{S}^{2}}-\frac{90}{S} \right)=35\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=5\\P=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+y=5\\xy=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=3\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=2\end{array} \right.$

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}xy(x-y)=-2\\{{x}^{3}}-{{y}^{3}}=2\end{array} \right.$.

GIẢI

Đặt $t=-y,\text{ }S=x+t,\text{ }P=xt$, điều kiện ${{S}^{2}}\ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l}xt(x+t)=2\\{{x}^{3}}+{{t}^{3}}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP=2\\{{S}^{3}}-3SP=2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=2\\P=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\t=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-1\end{array} \right.$

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=4\end{array} \right.$.

GIẢI

Điều kiện $x\ne 0,y\ne 0$.

Hệ phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l}\left( x+\frac{1}{x} \right)+\left( y+\frac{1}{y} \right)=4\\{{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}=8\end{array} \right.$

Đặt $S=\left( x+\frac{1}{x} \right)+\left( y+\frac{1}{y} \right),P=\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right),{{S}^{2}}\ge 4P$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}S=4\\{{S}^{2}}-2P=8\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=4\\P=4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( x+\frac{1}{x} \right)+\left( y+\frac{1}{y} \right)=4\\\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right)=4\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+\frac{1}{x}=2\\y+\frac{1}{y}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=1\end{array} \right.$

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2}\,\,\text{ }(1)\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\text{ }\,\,\,\,\text{ }\,\text{ }\,\text{ }(2)\end{array} \right.$.

GIẢI

Điều kiện $x,y\ge 0$. Đặt $t=\sqrt{xy}\ge 0$, ta có:

$xy={{t}^{2}}$ và $(2)\Rightarrow x+y=16-2t$.

Thế vào (1), ta được: $\sqrt{{{t}^{2}}-32t+128}=8-t\Leftrightarrow t=4$

Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}xy=16\\x+y=8\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=4\\y=4\end{array} \right.$

Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm

Phương pháp giải chung:

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

+ Bước 2: Đặt $\displaystyle S=x+y,P=xy$ với điều kiện của $\displaystyle S,P$ và (*)

+ Bước 3: Thay $\displaystyle x,y$ bởi $\displaystyle S,P$ vào hệ phương trình.

Giải hệ tìm $\displaystyle S,P$ theo $\displaystyle m$ rồi từ điều kiện (*) tìm $\displaystyle m$.

Chú ý:

Khi ta đặt ẩn phụ $\displaystyle u=u\left( x \right),v=v\left( x \right)$ và $\displaystyle S=u+v,P=uv$ thì nhớ tìm chính xác điều kiện của $\displaystyle u,v$.

Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m\end{array} \right.$

GIẢI

Điều kiện $x,y\ge 0$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\{{(\sqrt{x})}^{3}}+{{(\sqrt{y})}^{3}}=1-3m\end{array} \right.$

Đặt $S=\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge 0,P=\sqrt{xy}\ge 0$, ${{S}^{2}}\ge 4P.$ Hệ phương trình trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l}S=1\\{{S}^{3}}-3SP=1-3m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=1\\P=m\end{array} \right.$.

Từ điều kiện $S\ge 0,P\ge 0,{{S}^{2}}\ge 4P$ ta có $0\le m\le \frac{1}{4}$.

Ví dụ 2. Tìm điều kiện $\displaystyle m$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x+y+xy=m\\{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=3m-9\end{array} \right.$ có nghiệm thực.

GIẢI

$\left\{ \begin{array}{l}x+y+xy=m\\{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=3m-9\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x+y)+xy=m\\xy(x+y)=3m-9\end{array} \right.$.

Đặt $\displaystyle S\text{ }=\text{ }x\text{ }+\text{ }y,\text{ }P\text{ }=\text{ }xy,$ Hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}S+P=m\\SP=3m-9\end{array} \right.$.

Suy ra $\displaystyle S$ và $\displaystyle P$ là nghiệm của phương trình ${{t}^{2}}-mt+3m-9=0$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=3\\P=m-3\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}S=m-3\\P=3\end{array} \right.$

Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{3}^{2}}\ge 4(m-3)\\{{(m-3)}^{2}}\ge 12\end{array} \right.\Leftrightarrow m\le \frac{21}{4}\vee m\ge 3+2\sqrt{3}$.

Loại  3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.

Ví dụ 1. Giải phương trình: $\displaystyle \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1-x}\text{ }=\frac{3}{2}$.

GIẢI

Đặt: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\sqrt[3]{x}=u\\\sqrt[3]{1-x}=v\end{array} \right.$ . Vậy ta có hệ: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u+v=\frac{3}{2}\\{{u}^{3}}+{{v}^{3}}=1\end{array} \right.$

⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u+v=\frac{3}{2}\\(u+v)\left[ {{(u+v)}^{2}}-3uv \right]=1\end{array} \right.$

⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u+v\text{ }=\frac{3}{2}\\u.v\text{ }=\frac{19}{36}\end{array} \right.$

u, v là hai nghiệm của phương trình: $\displaystyle {{X}^{2}}-\frac{3}{2}X\text{ }+\frac{19}{36}\text{ }=\text{ }0$

⇒ $\displaystyle \left[ \begin{array}{l}u\text{ }=\frac{9+\sqrt{5}}{12}\\u\text{ }=\frac{9\text{ }-\text{ }\sqrt{5}}{12}\end{array} \right.$ ⇒ $\displaystyle \left[ \begin{array}{l}x\text{ }=\text{ }{{\left( \frac{9\text{ }+\text{ }\sqrt{5}}{12} \right)}^{3}}\\x\text{ }=\text{ }{{\left( \frac{9\text{ }-\text{ }\sqrt{5}}{12} \right)}^{3}}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $\displaystyle \left\{ x \right\}$ = $\displaystyle \left\{ {{\left( \frac{9+\sqrt{5}}{12} \right)}^{3}};\text{ }{{\left( \frac{9-\sqrt{5}}{12} \right)}^{3}} \right\}$.

II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 HAI ẨN

A. Định nghĩa:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=0\,\,\,\left( 1 \right)\\f(y,x)=0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Cách giải: Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được: $\displaystyle (x-y)g\left( x,y \right)=0$.

Khi đó $\displaystyle x-y=0$ hoặc $\displaystyle g\left( x,y \right)=0.$

+ Trường hợp 1: $\displaystyle x-y=0$ kết hợp với phương trình  hoặc  suy ra được nghiệm.

+ Trường hợp 2: $\displaystyle g\left( x,y \right)=0$ kết hợp với phương trình  suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm.

B. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=3x+8y\,\,\,\left( 1 \right)\\{{y}^{3}}=3y+8x\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ (I)

GIẢI

Lấy (1) – (2) ta được: $\displaystyle \text{(x – y)(}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ + xy + }{{\text{y}}^{\text{2}}}\text{ + 5) = 0}$

Trường hợp 1: (I) $\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}\text{ }=\text{ }3x\text{ }+\text{ }8y\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.$

⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}\text{ }-\text{ }11x\text{ }=\text{ }0\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x\text{ }=\text{ }0\\x\text{ }=\text{ }\pm \sqrt{11}\end{array} \right.\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.$.

Trường hợp 2: (I) $\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}+5=0\\{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=11\left( x+y \right)\end{array} \right.$ (hệ này vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:

$\displaystyle \left\{ \text{(x}\text{, y)} \right\}\text{=}\left\{ \text{(0}\text{,0); (}\sqrt{\text{11}}\text{,}\sqrt{\text{11}}\text{); (-}\sqrt{\text{11}}\text{,-}\sqrt{\text{11}}\text{)} \right\}$

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+\sqrt[4]{y-1}=1\\y+\sqrt[4]{x-1}=1\end{array} \right.$

GIẢI

Đặt: $\displaystyle \sqrt[\text{4}]{\text{x – 1}}\text{ = u }\ge \text{0; }\sqrt[\text{4}]{\text{y – 1}}\text{ = v}\ge \text{0}$

Hệ phương trình trở thành:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{u}^{4}}\text{ }+\text{ }1\text{ }+\text{ }v\text{ }=\text{ }1\\{{v}^{4}}\text{ }+\text{ }1\text{ }+\text{ }u\text{ }=\text{ }1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{u}^{4}}\text{ }+\text{ }v\text{ }=\text{ }0\\{{v}^{4}}\text{ }+\text{ }u\text{ }=\text{ }0\end{array} \right.$

⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u\text{ }=\text{ }0\\v\text{ }=\text{ }0\end{array} \right.$

(Do u, v ≥ 0) $\displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{x = 1}\\\text{y = 1}\end{array} \right.$.

Vậy hệ có nghiệm (1,1)