WebToan.Com là thư viện mở ngành Toán học NÊN sao chép, chia sẻ, KHÔNG NÊN thương mại hoá.

Chuyên đề: Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn

Hôm nay, Toancap2.net cùng các em ôn tập Chuyên đề Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn. Chuyên đề này cũng nằm trong chuyên đề ôn thi vào 10 môn Toán.

Các em cần phải thuộc, ghi nhớ lý thuyết về phương trình bậc nhất, bậc hai và định lý Vi et.

A. Lý thuyết:

I. Phương trình bậc nhất một ẩn

– Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: $ \displaystyle ax+b=0$ trong đó $ \displaystyle x$ là ẩn số a , b  là các số cho trước gọi là các hệ số $ \displaystyle \left( a\ne 0 \right)$.

– Phương pháp giải: $ \displaystyle ax+b=0$ ⇔ $ \displaystyle ax=-b$ ⇔ $ \displaystyle x=\frac{-b}{a}$.

II. Phương trình bậc hai một ẩn

– Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ trong đó $ \displaystyle x$ là ẩn số a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số $ \displaystyle \left( a\ne 0 \right)$.

– Phương pháp giải:

+ Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai: $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ (a ≠ 0) là $ \displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac$

  • $ \displaystyle \Delta >0$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $ \displaystyle \,{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$, $ \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$
  • $ \displaystyle \Delta =0$: Phương trình có nghiệm kép: $ \displaystyle \,{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a}$.
  • $ \displaystyle \Delta <0$: Phương trình vô nghiệm.

+ Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai: $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ (a ≠ 0) là $ \displaystyle {\Delta }’={{{b}’}^{2}}-ac$

  • $ \displaystyle {\Delta }’>0$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $ \displaystyle \,{{x}_{1}}=\frac{-{b}’+\sqrt{{{\Delta }’}}}{a}$, $ \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-{b}’-\sqrt{{{\Delta }’}}}{a}$.
  • $ \displaystyle {\Delta }’=0$: Phương trình có nghiệm kép: $ \displaystyle \,{{x}_{1}}={{x}_{2}}={{\frac{-b}{a}}^{\prime }}$.
  • $ \displaystyle {\Delta }'<0$: Phương trình vô nghiệm.

III. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

– Nếu $ \displaystyle {{x}_{1}}$,  $ \displaystyle {{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình bậc hai $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ (a ≠ 0) thì: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}\\{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\end{array} \right.$.

– Ứng dụng:

  • Nếu phương trình $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có $ \displaystyle a+b+c=0$ thì phương trình có hai nghiệm: $ \displaystyle {{x}_{1}}=1$; $ \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{c}{a}$.
  • Nếu phương trình $ \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có $ \displaystyle a-b+c=0$ thì phương trình có hai nghiệm: $ \displaystyle {{x}_{1}}=-1$; $ \displaystyle {{x}_{2}}=-\frac{c}{a}$.
  • Nếu hai số $ \displaystyle u$ và $ \displaystyle v$ có $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u+v=S\\u.v=P\end{array} \right.$ thì $ \displaystyle u$ và $ \displaystyle v$ là nghiệm của phương trình $ \displaystyle {{X}^{2}}-SX+P=0$.

( Điều kiện để có u, v là: $ \displaystyle {{S}^{2}}-4P\ge 0$).

B. Các ví dụ

Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất

Ví dụ: Giải các phương trình:

a) $ \displaystyle 2x+1=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm $ \displaystyle x=\frac{-1}{2}$

b) $ \displaystyle x-2018=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow x=2018$

Vậy phương trình có nghiệm $ \displaystyle x=2018$.

c) $ \displaystyle \sqrt{2}x+3\sqrt{2}=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{2}x=-3\sqrt{2}\Leftrightarrow x=-3$

Vậy phương trình có nghiệm $ \displaystyle x=-3$

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai

Ví dụ: Giải các phương trình

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

👉 Để CHẤT LƯỢNG TÀI LIỆU đến các em học sinh và giáo viên được tốt nhất. Mọi người vui lòng nhập mật khẩu vào ô bên trên

🔎 Lấy mật khẩu bằng cách xem hướng dẫn từ video này

‼️‼️‼️ Hướng dẫn lấy mật khẩu (làm theo video bên dưới)

🔜 Sau khi lấy được Mã thì quay lại điền vào ô Nhập Mật Khẩu ở trên

1600222083 cua cuon dai loan cuacuonsg

a) $ \displaystyle {{x}^{2}}-5x+6=0$

$ \displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4.1.6=1>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$ \displaystyle \,{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5+1}{2}=3$; $ \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5-1}{2}=2$

b) $ \displaystyle {{x}^{2}}-2x-1=0$

c) $ \displaystyle {{x}^{2}}-2x+10=0$

d) $ \displaystyle 9{{x}^{2}}+12x+4=0$

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của phương trình bậc hai cho trước

Ví dụ: Gọi $ \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình: $ \displaystyle {{x}^{2}}+x-2+\sqrt{2}=0$. Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:

$ \displaystyle A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}$;

$ \displaystyle B={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$;

$ \displaystyle C=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$;

$ \displaystyle D={{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}$;

Hướng dẫn giải:

Ta có: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=-1\\P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-2+\sqrt{2}\end{array} \right.$

$ \displaystyle A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{2}}+{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{-1}{-2+\sqrt{2}}$.

$ \displaystyle B={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$ $ \displaystyle ={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $ \displaystyle =1-\left( -2+\sqrt{2} \right)=3-\sqrt{2}$.

$ \displaystyle C=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}$ $ \displaystyle =\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ $ \displaystyle =\sqrt{1-4\left( -2+\sqrt{2} \right)}=2\sqrt{2}-1$.

$ \displaystyle D={{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}$ $ \displaystyle ={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $ \displaystyle =-1+3\left( -2+\sqrt{2} \right)=-7+3\sqrt{2}$.

★★★ Danh sách các tài liệu, đề thi HOT ★★★

✔️ 240+ Đề thi toán lớp 9

✔️ 10+ Đề thi học sinh giỏi quốc gia

Bình luận
0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
Bình luận fb
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x