Chuyên đề: Phương trình có chứa căn thức

A) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

I) TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1) Các dạng cơ bản

$ \displaystyle \begin{array}{l}\bullet \,\sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\,\,(hay\,\,B\ge 0)\\A=B\end{array} \right.\\\bullet \,\sqrt{A}=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\ge 0\\A={{B}^{2}}\end{array} \right.\\\bullet \,\sqrt[3]{A}=B\Leftrightarrow A={{B}^{3}}\end{array}$

2) Các dạng khác

– Đặt điều kiện cho $ \displaystyle \sqrt[2n]{A}$ là $ \displaystyle A\ge 0\,$, nâng cả hai vế lên lũy thừa tương ứng để khử căn thức

Lưu ý:

$ \displaystyle \begin{array}{l}A=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A.B\ge 0\\{{A}^{2n}}={{B}^{2n}}\end{array} \right.\\A=B\Leftrightarrow {{A}^{2n+1}}={{B}^{2n+1}}\end{array}$

– Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản

II) MỘT SỐ BÀI MẪU

Giải các phương trình sau:

a) $ \displaystyle \sqrt{4+2x-{{x}^{2}}}=x-2$

b) $ \displaystyle \sqrt{25-{{x}^{2}}}=x-1$

c) $ \displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}-9x+1}+2=x$

Giải

$ \displaystyle \begin{array}{l}a)\sqrt{4+2x-{{x}^{2}}}=x-2\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x-2\ge 0\\4+2x-{{x}^{2}}={{(x-2)}^{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 2\\{{x}^{2}}-3x=0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 2\\x=0\,\vee \,x=3\end{array} \right.\Leftrightarrow x=3\end{array}$

$ \displaystyle \begin{array}{l}b)\,\sqrt{25-{{x}^{2}}}=x-1\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x-1\ge 0\\25-{{x}^{2}}={{(x-1)}^{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 1\\2{{x}^{2}}-2x-24=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 1\\x=4\,\vee \,x=-3\end{array} \right.\Leftrightarrow x=4\end{array}$

$ \displaystyle \begin{array}{l}c)\sqrt{3{{x}^{2}}-9x+1}+2=x\Leftrightarrow \sqrt{3{{x}^{2}}-9x+1}=x-2\\\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x-2\ge 0\\3{{x}^{2}}-9x+1={{(x-2)}^{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 2\\2{{x}^{2}}-5x-3=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 2\\x=3\vee \,x=-\frac{1}{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=3\end{array}$

III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ

Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tùy theo dạng của phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp.

Ví dụ 1: Cho phương trình : $ (x-3)(x+1)+4(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=m\,\,\,\,\,(1)$.

a) Giải phương trình với m = -3

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Giải: Đặt $ X=(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}\Rightarrow {{X}^{2}}=(x-3)(x+1)$  nên pt (1) đưa về :X²+4X-m=0   (2)

a) Với m = -3 thì phương trình (2) trở thành $ {{X}^{2}}+4X+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X=-1\\X=-3\end{array} \right.$

+ Nếu

$ \begin{array}{l}X=-1\Leftrightarrow -1=(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<3\\1=(x-3)(x+1)\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<3\\{{x}^{2}}-2x-4=0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<3\\x=1\pm \sqrt{5}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=1-\sqrt{5}\end{array}$

+ Nếu

$ \begin{array}{l}X=-3\Leftrightarrow -3=(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<3\\9=(x-3)(x+1)\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<3\\{{x}^{2}}-2x-12=0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<3\\x=1\pm \sqrt{13}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=1-\sqrt{13}\end{array}$

b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm .

Giả sử nghiệm là X₀ thì $ (x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}={{X}_{0}}$.

+ Nếu X₀ = 0 thì x = – 1

+ Nếu X₀ > 0 thì $ \left\{ \begin{array}{l}x>3\\(x-3)(x+1)=X_{0}^{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=1+\sqrt{4+X_{0}^{2}}$

+ Nếu X₀ < 0 thì $ \left\{ \begin{array}{l}x<3\\(x-3)(x+1)=X_{0}^{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=1-\sqrt{4+X_{0}^{2}}$

Vậy với $ m\ge -4$ thì phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm.

Ví dụ 2:  Giải phương trình

$ \displaystyle {{x}^{2}}+4x=\sqrt{x+6}$ (1)

Hướng dẫn:

• Nếu đặt t = $ \displaystyle \sqrt{x+6}$(t ≥ 0) ta được hệ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+4x=t\\{{t}^{2}}=x+6\end{array} \right.$ → khó khăn
• Ta dự kiến đặt $ \displaystyle \sqrt{x+6}$ = at + b để đưa về hệ phương trình đối xứng:

Ta có hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+4x=at+b\\{{a}^{2}}{{t}^{2}}+2abt=x+6-{{b}^{2}}\end{array} \right.$

hệ này đối xứng nếu $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{a}^{2}}=1\\2ab=4\\a=1\\b=6-{{b}^{2}}\end{array} \right.$ ⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}a=1\\b=2\end{array} \right.$

Như vậy ta đặt t + 2 = $ \displaystyle \sqrt{x+6}$ (t ≥ – 2)

Khi đó có hệ pt đối xứng: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+4x=t+2\\{{t}^{2}}+4t=x+2\end{array} \right.$

(ĐS: $ \displaystyle x=\frac{-3-\sqrt{17}}{2};\,\frac{-5+\sqrt{13}}{2}$)