WebToan.Com là thư viện mở ngành Toán học NÊN sao chép, chia sẻ, KHÔNG NÊN thương mại hoá.

Chuyên đề: Phương trình có chứa căn thức

A) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

I) TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1) Các dạng cơ bản

$ \displaystyle \begin{array}{l}\bullet \,\sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\,\,(hay\,\,B\ge 0)\\A=B\end{array} \right.\\\bullet \,\sqrt{A}=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\ge 0\\A={{B}^{2}}\end{array} \right.\\\bullet \,\sqrt[3]{A}=B\Leftrightarrow A={{B}^{3}}\end{array}$

2) Các dạng khác

– Đặt điều kiện cho $ \displaystyle \sqrt[2n]{A}$ là $ \displaystyle A\ge 0\,$, nâng cả hai vế lên lũy thừa tương ứng để khử căn thức

Lưu ý:

$ \displaystyle \begin{array}{l}A=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A.B\ge 0\\{{A}^{2n}}={{B}^{2n}}\end{array} \right.\\A=B\Leftrightarrow {{A}^{2n+1}}={{B}^{2n+1}}\end{array}$

– Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản

II) MỘT SỐ BÀI MẪU

Giải các phương trình sau:

a) $ \displaystyle \sqrt{4+2x-{{x}^{2}}}=x-2$

b) $ \displaystyle \sqrt{25-{{x}^{2}}}=x-1$

c) $ \displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}-9x+1}+2=x$

Giải

$ \displaystyle \begin{array}{l}a)\sqrt{4+2x-{{x}^{2}}}=x-2\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x-2\ge 0\\4+2x-{{x}^{2}}={{(x-2)}^{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 2\\{{x}^{2}}-3x=0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 2\\x=0\,\vee \,x=3\end{array} \right.\Leftrightarrow x=3\end{array}$

$ \displaystyle \begin{array}{l}b)\,\sqrt{25-{{x}^{2}}}=x-1\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x-1\ge 0\\25-{{x}^{2}}={{(x-1)}^{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 1\\2{{x}^{2}}-2x-24=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 1\\x=4\,\vee \,x=-3\end{array} \right.\Leftrightarrow x=4\end{array}$

$ \displaystyle \begin{array}{l}c)\sqrt{3{{x}^{2}}-9x+1}+2=x\Leftrightarrow \sqrt{3{{x}^{2}}-9x+1}=x-2\\\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x-2\ge 0\\3{{x}^{2}}-9x+1={{(x-2)}^{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 2\\2{{x}^{2}}-5x-3=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 2\\x=3\vee \,x=-\frac{1}{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=3\end{array}$

III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ

Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tùy theo dạng của phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp.

Ví dụ 1: Cho phương trình : $ (x-3)(x+1)+4(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=m\,\,\,\,\,(1)$.

a) Giải phương trình với m = -3

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Giải: Đặt $ X=(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}\Rightarrow {{X}^{2}}=(x-3)(x+1)$  nên pt (1) đưa về :X2+4X-m=0   (2)

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

👉 Để CHẤT LƯỢNG TÀI LIỆU đến các em học sinh và giáo viên được tốt nhất. Mọi người vui lòng nhập mật khẩu vào ô bên trên

🔎 Lấy mật khẩu bằng cách xem hướng dẫn từ video này

‼️‼️‼️ Hướng dẫn lấy mật khẩu (làm theo video bên dưới)

🔜 Sau khi lấy được Mã thì quay lại điền vào ô Nhập Mật Khẩu ở trên

1600221870 cua cuon cuacuonsg

a) Với m = -3 thì phương trình (2) trở thành $ {{X}^{2}}+4X+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X=-1\\X=-3\end{array} \right.$

+ Nếu

$ \begin{array}{l}X=-1\Leftrightarrow -1=(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<3\\1=(x-3)(x+1)\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<3\\{{x}^{2}}-2x-4=0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<3\\x=1\pm \sqrt{5}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=1-\sqrt{5}\end{array}$

+ Nếu

$ \begin{array}{l}X=-3\Leftrightarrow -3=(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<3\\9=(x-3)(x+1)\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<3\\{{x}^{2}}-2x-12=0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<3\\x=1\pm \sqrt{13}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=1-\sqrt{13}\end{array}$

b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm .

Giả sử nghiệm là X0 thì $ (x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}={{X}_{0}}$.

+ Nếu X0 = 0 thì x = – 1

+ Nếu X0 > 0 thì $ \left\{ \begin{array}{l}x>3\\(x-3)(x+1)=X_{0}^{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=1+\sqrt{4+X_{0}^{2}}$

+ Nếu X0 < 0 thì $ \left\{ \begin{array}{l}x<3\\(x-3)(x+1)=X_{0}^{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=1-\sqrt{4+X_{0}^{2}}$

Vậy với $ m\ge -4$ thì phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm.

Ví dụ 2:  Giải phương trình

$ \displaystyle {{x}^{2}}+4x=\sqrt{x+6}$ (1)

Hướng dẫn:

  • Nếu đặt t = $ \displaystyle \sqrt{x+6}$(t ≥ 0) ta được hệ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+4x=t\\{{t}^{2}}=x+6\end{array} \right.$ → khó khăn
  • Ta dự kiến đặt $ \displaystyle \sqrt{x+6}$ = at + b để đưa về hệ phương trình đối xứng:

Ta có hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+4x=at+b\\{{a}^{2}}{{t}^{2}}+2abt=x+6-{{b}^{2}}\end{array} \right.$

hệ này đối xứng nếu $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{a}^{2}}=1\\2ab=4\\a=1\\b=6-{{b}^{2}}\end{array} \right.$ ⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}a=1\\b=2\end{array} \right.$

Như vậy ta đặt t + 2 = $ \displaystyle \sqrt{x+6}$ (t ≥ – 2)

Khi đó có hệ pt đối xứng: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+4x=t+2\\{{t}^{2}}+4t=x+2\end{array} \right.$

(ĐS: $ \displaystyle x=\frac{-3-\sqrt{17}}{2};\,\frac{-5+\sqrt{13}}{2}$)

★★★ Danh sách các tài liệu, đề thi HOT ★★★

✔️ 240+ Đề thi toán lớp 9

✔️ 10+ Đề thi học sinh giỏi quốc gia

Bình luận
0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
Bình luận fb
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x