Chuyên đề: Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối – Toán lớp 9

Bài viết này Toancap2.net chia sẻ với các em học sinh lớp 9 chuyên đề phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối với các dạng bài tập cơ bản có ví dụ bài tập minh họa.

Các em cần nắm chắc lý thuyết và xem các ví dụ bên dưới để hiểu rõ hơn về dạng bài tập phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

1) Nhắc lại giá trị tuyệt đối

$ \displaystyle \left| \text{x} \right|=\left\{ \begin{array}{l}\text{x khi x}\ge \text{0}\\\text{-x khi x 0}\end{array} \right.$

Ví dụ:

a) $ \left| 8 \right|=8;\left| -10 \right|=10$

$ \displaystyle b)\left| 2x+1 \right|=\left\{ \begin{array}{l}2x+1\,\,\,khi\,\,\,2x+1\ge 0\\-(2x+1)\,\,khi\,\,\,2x+1<0\end{array} \right.$

2) Các dạng phương trình tuyệt đối

2.1) Giải phương trình: $ \left| \text{A(x)} \right|=\text{b (b}\ge \text{0)}$, $ \left| \text{A(x)} \right|=\text{B(x) }$

a) Cách giải phương trình: $ \left| \text{A(x)} \right|=\text{b (b}\ge \text{0)}\text{,}$

$ \left| \text{A(x)} \right|=\text{b }\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| \text{A(x)} \right|=\text{b}\\\left| \text{A(x)} \right|=-\text{b}\end{array} \right.$

Ví dụ:

Giải phương trình: $ \left| \text{3x+1} \right|=5$

Giải

$ \left| \text{3x+1} \right|=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\text{3x+1}=5\\\text{3x+1}=-5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\text{x=}\frac{\text{4}}{\text{3}}\\\text{x=-2}\end{array} \right.$

b) Cách giải phương trình: $ \left| \text{A(x)} \right|=\text{B(x) }$

Cách 1: $ \left| \text{A(x)} \right|=\text{B(x) }\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{B(x)}\ge \text{0}\\\text{A(x)=}\pm \text{B(x)}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{B(x)}\ge \text{o}\\\left[ \begin{array}{l}\text{A(x)=B(x)}\\\text{A(x)=-B(x)}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Cách 2: $ \left| \text{A(x)} \right|=\text{B(x)}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\text{A(x)}\ge \text{0}\\\text{A(x)=B(x)}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\text{A(x)0}\\\text{-A(x)=B(x)}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Ví dụ: Giải phương trình: $ \left| 3\text{x+2} \right|=5\text{x-1}$

Giải

$ \left| 3\text{x+2} \right|=5\text{x-1}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\text{3x+2}\ge \text{0}\\\text{3x+2=5x-1}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\text{3x+20}\\\text{-3x-2=5x-1}\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\text{x}\ge \text{-}\frac{\text{2}}{\text{3}}\\\text{x=}\frac{\text{3}}{\text{2}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\text{x-}\frac{\text{2}}{\text{3}}\\\text{x=-}\frac{\text{1}}{\text{8}}\end{array} \right.\end{array} \right.$

2.2) Giải phương trình dạng: $ \left| \text{A}(\text{x)} \right|=\left| \text{B(x)} \right|$

Cách giải: $ \left| \text{A(x)} \right|=\left| \text{B(x)} \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\text{A(x)=B(x)}\\\text{A(x)=-B(x)}\end{array} \right.$

Ví dụ: Giải phương trình: $ \left| \text{2-3x} \right|=\left| 5-2\text{x} \right|$

Giải

$ \left| \text{2-3x} \right|=\left| 5-2\text{x} \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\text{2-3x=}5-2\text{x}\\\text{2-3x=-(}5-2\text{x)}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\text{x=-3}\\\text{x=}\frac{\text{7}}{\text{5}}\end{array} \right.$

2.3) Giải phương trình: $ \left| \text{A(x)} \right|+\left| \text{B(x)} \right|=\text{b}$

Cách giải 1:

– Bước 1: Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối

– Bước 2: Giải các phương trình theo các khoảng trong bảng

Ví dụ: Giải phương trình: $ \left| \text{x+1} \right|+\left| \text{x-1} \right|=10$

Giải

– Bước 1: Lập bảng phá dấu $ \left| {} \right|$

– Bước 2: Giải các phương trình theo các khoảng

• x<-1: -2x=10 ⇔ x=-5 thoả đk x<-1
• $ -1\le \text{x}\le \text{1:2=10}$ Vô nghiệm
• x>1: 2x=10 ⇔ x=5 thoã đk x>1

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=5 và x=-5

Cách giải 2: Đưa về 4 trường hợp sau

TH1: $ \left\{ \begin{array}{l}\text{A(x)}\ge \text{0}\\\text{B(x)}\ge \text{0}\end{array} \right.$ ta giải phương trình A(x) + B(x) =b

TH 2: $ \left\{ \begin{array}{l}\text{A(x)}\ge \text{0}\\\text{B(x)0}\end{array} \right.$ Ta giải phương trình A(x) – B(x) =b

TH 3: $ \left\{ \begin{array}{l}\text{A(x)0}\\\text{B(x)}\ge \text{0}\end{array} \right.$  Ta giải phương trình – A(x) + B(x) = b

TH 4: $ \left\{ \begin{array}{l}\text{A(x)0}\\\text{B(x)0}\end{array} \right.$ Ta giải phương trình sau –A(x) – B(x) = b

Ví dụ: Giải phương trình: $ \left| \text{x+1} \right|+\left| \text{x-1} \right|=10$ (*)

Giải

TH 1: $ \left\{ \begin{array}{l}\text{x+1}\ge \text{0}\\\text{x-1}\ge \text{0}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{x}\ge -1\\\text{x}\ge \text{1}\end{array} \right.\Rightarrow x\ge 1$

Phương trình(*) tương đương với phương trình x+1+x-1=10 ⇔ x=5 thoã x ≥ 1

TH 2: $ \left\{ \begin{array}{l}\text{x+1}\ge \text{0}\\\text{x-10}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{x}\ge \text{-1}\\\text{x1}\end{array} \right.\Leftrightarrow -1\le \text{x1}$

(*)  ⇔ $ \Leftrightarrow \text{x+1-x+1=10}\Leftrightarrow \text{2=10}$  Vô nghiệm

TH 3: $ \left\{ \begin{array}{l}\text{x+10}\\\text{x-1}\ge \text{0}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{x-1}\\\text{x}\ge \text{1}\end{array} \right.$ : Không xảy ra

TH 4: $ \left\{ \begin{array}{l}\text{x+10}\\\text{x-10}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{x-1}\\\text{x1}\end{array} \right.\Rightarrow \text{x-1}$

(*) $ \Leftrightarrow -(\text{x+1)-(x-1)=10}\Leftrightarrow -\text{2x=10}\Leftrightarrow \text{x=-5}$  thoã đk x<-1

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x=5 và x=-5