Đại số 9 – Chuyên đề 1 – Căn bậc hai và Hằng đẳng thức

Danh mục: Chuyên đề Toán 9 , Đại số 9 , Toán 9

A– LÝ THUYẾT

I . Căn bậc hai:

1. CĂN BẬC HAI của số thực a là số x sao cho x² = a.

– Số thực a dương: có đúng hai căn bậc hai là số đối nhau: số dương kí hiệu là $\displaystyle \sqrt{a}$ và số âm kí hiệu là $\displaystyle -\sqrt{a}$ .

– Số 0: có đúng 1 căn bậc hai là chính số 0, ta viết $\displaystyle \sqrt{0}=0$

– Số thực a âm: không có căn bậc hai, khi đó ta nói biểu thức $\displaystyle \sqrt{a}$ không có nghĩa hay không xác định.

2. CĂN BÂC HAI SỐ HỌC của số thực a là số không âm x mà x² = a.

Với a ≥ 0, ta có:

– Số x là căn bậc hai số học của a thì x = $\displaystyle \sqrt{a}$

$\displaystyle x=\sqrt{a}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\{{x}^{2}}={{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}=a\end{array} \right.$

– $\displaystyle \sqrt{a}\ge 0$ và $\displaystyle {{(\sqrt{a})}^{2}}=a$

3. Với a, b là các số dương, ta có:

a) Nếu a < b thì $\displaystyle \sqrt{a}<\sqrt{b}$

b) Nếu $\displaystyle \sqrt{a}<\sqrt{b}$ thì a < b.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Phân biệt căn bậc hai và căn bậc hai số học

Bài tập 1: Tìm câu đúng trong các câu sau:

a) Căn bậc hai của 0,81 là 0,9;

b) Căn bậc hai của 0,81 là 0,09;

c) Căn bậc hai của 0,81 là 0,9 và –0,9;

$\displaystyle \sqrt{0,81}=0,9$

e) $\displaystyle \sqrt{0,81}=\pm 0,9$

Bài tập 2: Tìm câu đúng trong các câu sau:

a) Số 3 không có căn bậc hai.

b) Căn bậc hai của 3 là $\displaystyle \sqrt{3}$

c) Căn bậc hai của 3 là $\displaystyle \sqrt{3}$ và $\displaystyle -\sqrt{3}$

d) Căn bậc hai số học của 3 là

$\displaystyle \sqrt{3}$

e) Căn bậc hai số học của 3 là $\displaystyle \sqrt{3}$ và $\displaystyle -\sqrt{3}$

Bài tập 3: Tìm các căn bậc hai số học của các số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:

16; 25; 144; 0,09; 225; $\displaystyle \frac{9}{16}$ ; 121; 10 000; 0,01.

DẠNG 2: Chứng minh căn một số là số vô tỉ

Bài tập 3: Chứng minh $\displaystyle \sqrt{5}$ là số vô tỉ.

Giải:

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:

Giả sử $\displaystyle \sqrt{5}$ là số hữu tỉ.

Như vậy $\displaystyle \sqrt{5}$ có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản $\displaystyle \frac{\text{m}}{\text{n}}$ , tức là $\displaystyle \sqrt{5}=\frac{\text{m}}{\text{n}}$ .

Suy ra $\displaystyle {{(\sqrt{5})}^{2}}={{\left( \frac{\text{m}}{\text{n}} \right)}^{2}}$ hay 5n² = m² (1).

Đẳng thức này chứng tỏ m² $\displaystyle \vdots$ 5, mà 5 là số nguyên tố nên m $\displaystyle \vdots$ 5.

Đặt m = 5k (k $\displaystyle \in \mathbb{Z}$ ), ta có m² = 25k² (2).

Từ (1) và (2) suy ra 5n² = 25k² nên n² = 5k² (3).

Từ (3) ta lại có n² $\displaystyle \vdots$ 5 mà 5 là số nguyên tố nên n $\displaystyle \vdots$ 5.

m và n cùng chia hết cho 5 nên phân số $\displaystyle \frac{\text{m}}{\text{n}}$ không tối giản, trái với giả thiết.

Vậy $\displaystyle \sqrt{5}$ không phải là số hữu tỉ, do đó $\displaystyle \sqrt{5}$ là số vô tỉ.

Bài tập 4: Chứng minh rằng:

$\displaystyle \sqrt{3}$ là số vô tỉ

b) $\displaystyle \sqrt{7}$ là số vô tỉ

$\displaystyle \sqrt{3}+1$ là số vô tỉ

d) $\displaystyle \sqrt{1+\sqrt{2}}$ là số vô tỉ

DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn

Bài tập 5: Giải phương trình:

Chú ý phương trình dạng:

$\displaystyle \sqrt{a}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\{{x}^{2}}={{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}=a\end{array} \right.$

Lưu ý: Nếu x < 0 Þ phương trình vô nghiệm

$\displaystyle \sqrt{x}=15$

b) $\displaystyle \sqrt{x}-1=3$

c) $\displaystyle 2\sqrt{x}=14$

$\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+1}=2$

e) $\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+5x+20}=4$

f) $\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+3}=-1$

Bài tập 6: Tìm x không âm, biết:

$\displaystyle \sqrt{x}<\sqrt{4}$

$\displaystyle \sqrt{2x}<4$

DẠNG 4: So sánh các số có căn

Bài tập 7: So sánh hai số:

$\displaystyle 2\sqrt{3}$ và

$\displaystyle 3\sqrt{2}$

b) $\displaystyle 6\sqrt{5}$ và $\displaystyle 5\sqrt{6}$

$\displaystyle 3\sqrt{26}$ và 15

d) $\displaystyle -5\sqrt{35}$ và –30

Bài tập 8: So sánh hai số:

$\displaystyle \sqrt{7}+\sqrt{15}$ với 7

b) $\displaystyle \sqrt{24}+\sqrt{45}$ với 12

$\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{11}$ với

$\displaystyle \sqrt{3}+5$

d) $\displaystyle \sqrt{37}-\sqrt{15}$ với 2

Bài tập 9: So sánh hai số:

$\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{15}$ với

$\displaystyle \sqrt{65}-1$

$\displaystyle \frac{13-2\sqrt{3}}{6}$ và

$\displaystyle \sqrt{2}$

Bài tập 10: So sánh các số:

$\displaystyle \frac{30+2\sqrt{45}}{4}$ và 12

$\displaystyle \sqrt{5\sqrt{3}}$ với

$\displaystyle \sqrt{3\sqrt{5}}$

Hướng dẫn và đáp số:

Bài tập 1: Câu c) d) đúng

Bài tập 2: Câu c) d) đúng

Bài tập 4:

a) b) Chứng minh tương tự bài 3

c) Giả sử $\displaystyle \sqrt{3}+1$ là một số hữu tỉ. Đặt $\displaystyle \sqrt{3}+1=x$ (x $\displaystyle \in \mathbb{Q}$ ), ta có:

$\displaystyle {{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow 3+2\sqrt{3}+1={{x}^{2}}\Leftrightarrow \sqrt{3}=\frac{{{x}^{2}}-4}{2}$

Vì x là số hữu tỉ nên x² – 4 là số hữu tỉ, do đó $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}-4}{2}$ là số hữu tỉ.

Như vậy $\displaystyle \sqrt{3}$ là số hữu tỉ, điều này vô lý. Vậy $\displaystyle \sqrt{3}+1$ là số vô tỉ.

d) Giả sử $\displaystyle \sqrt{1+\sqrt{2}}$ = m (m là số hữu tỉ) thì $\displaystyle \sqrt{2}$ = m² – 1 nên $\displaystyle \sqrt{2}$ là số hữu tỉ, vô lý.

Bài tập 5: Giải phương trình:

$\displaystyle \sqrt{x}-1=3$

$\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{x}=3+1=4$

$\displaystyle \Leftrightarrow x={{4}^{2}}=16$

Vậy …

$\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+1}=2$

$\displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}+1={{2}^{2}}=4$

$\displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}=4-1=3$

$\displaystyle \Leftrightarrow x=\sqrt{3}$

Vậy …

$\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+5x+20}=4$

$\displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+20={{4}^{2}}=16$

$\displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+4=0$

$\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)(x+4)=0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=-4\end{array} \right.$

Vậy …

$\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+3}=-1$

Do –1 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Bài tập 7: So sánh hai số:

a) $\displaystyle 2\sqrt{3}$ và $\displaystyle 3\sqrt{2}$

Có: $\displaystyle {{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}={{2}^{2}}.{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}=4.3=12$ ; $\displaystyle {{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}={{3}^{2}}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=9.2=18$

Do 12 < 18 nên $\displaystyle {{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}$ < $\displaystyle {{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}$ hay $\displaystyle 2\sqrt{3}$ < $\displaystyle 3\sqrt{2}$

b) $\displaystyle 6\sqrt{5}$ và $\displaystyle 5\sqrt{6}$

Có: $\displaystyle {{\left( 6\sqrt{5} \right)}^{2}}={{6}^{2}}.{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}=36.5=180$ ; $\displaystyle {{\left( 5\sqrt{6} \right)}^{2}}={{5}^{2}}.{{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}=25.6=150$

Do 180 > 150 nên $\displaystyle {{\left( 6\sqrt{5} \right)}^{2}}$ > $\displaystyle {{\left( 5\sqrt{6} \right)}^{2}}$ hay $\displaystyle 6\sqrt{5}$ > $\displaystyle 5\sqrt{6}$