II . Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức :
| · Điều kiện xác định của $ \displaystyle \sqrt{\text{A}}$ là A ≥ 0
(tức là để căn thức $ \displaystyle \sqrt{\text{A}}$ có nghĩa thì điều kiện là biểu thức A phải lớn hơn hoặc bằng 0) · Với mọi số thực a, ta có: $ \displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}}=\left| a \right|$ · Với A là biểu thức, ta có hằng đẳng thức:
|
|||
| BỔ SUNG:
1. $ \displaystyle \sqrt{\text{A}}\text{ = }\sqrt{\text{B}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{A}\ge 0\,\,(\text{hay}\,\,\text{B}\ge 0)\\\text{A}=\text{B}\end{array} \right.$ 2. $ \displaystyle \sqrt{\text{A}}\text{ + }\sqrt{\text{B}}\text{ = 0}\Leftrightarrow \text{A = B = 0}$ |
Bài tập 1: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa:
| A = $ \displaystyle \sqrt{4{{x}^{2}}-1}$ | B = $ \displaystyle \sqrt{2{{x}^{2}}+4x+5}$ |
| C = $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}$ | D = $ \displaystyle \sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{-3x}$ |
Bài tập 2: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa:
| A = $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}$ | B = $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+4x+5}$ |
| C = $ \displaystyle \sqrt{\frac{x+3}{5-x}}$ | D = $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}}$ |
Bài tập 3: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức:
| a) A = $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x-1}}$ | b) B = $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}$ |
Bài tập 4: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức:
| a) A = $ \displaystyle \sqrt{2-{{x}^{2}}}$ | b) B = $ \displaystyle \frac{x}{\sqrt{5{{x}^{2}}-3}}$ |
| c) C = $ \displaystyle \sqrt{-4{{x}^{2}}+4x-1}$ | d) D = $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}}$ |
Bài tập 5: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức:
| a) A = $ \displaystyle 3-\sqrt{1-16{{x}^{2}}}$ | b) B = $ \displaystyle \frac{1}{1-\sqrt{{{x}^{2}}-3}}$ |
| c) C = $ \displaystyle \sqrt{8x-{{x}^{2}}-15}$ | d) D = $ \displaystyle \frac{2}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}$ |
| e) E = $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}}$ | f) F = $ \displaystyle \frac{\sqrt{16-{{x}^{2}}}}{\sqrt{2x+1}}+\sqrt{{{x}^{2}}-8x+14}$ |
Bài tập 6: Tính:
| a) $ \displaystyle -\frac{7}{9}.\sqrt{{{(-0,81)}^{2}}}$ | b) $ \displaystyle 6.\sqrt{{{\left( \frac{-1}{36} \right)}^{2}}}$ |
| c) $ \displaystyle \sqrt{49}.\sqrt{144}+\sqrt{256}:\sqrt{64}$ | d) 72 : $ \displaystyle \sqrt{{{2}^{2}}{{.3}^{2}}.36}-\sqrt{225}$ |
Bài tập 7: Rút gọn các biểu thức:
| a) $ \displaystyle \sqrt{6+2\sqrt{5}}+\sqrt{6-2\sqrt{5}}$
c) $ \displaystyle \sqrt{11+6\sqrt{2}}+\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ |
b) $ \displaystyle \sqrt{8-2\sqrt{7}}-\sqrt{8+2\sqrt{7}}$
d) $ \displaystyle \sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}$ |
Bài tập 8: Rút gọn các biểu thức:
a) $ \displaystyle \sqrt{64{{a}^{2}}}+2a$ với a ≥ 0
b) $ \displaystyle 3\sqrt{9{{a}^{6}}}-6{{a}^{3}}$với a bất kì
c) $ \displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}+6a+9}+\sqrt{{{a}^{2}}-6a+9}$ với a bất kì
d) $ \displaystyle \sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}$ với 1 ≤ a ≤ 2
Bài tập 9: Cho biểu thức: A = $ \displaystyle \sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}}$
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn biểu thức A.
Bài tập 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
| a) x2 – 11;
c) $ \displaystyle x+4\sqrt{x}+3$ |
b) $ \displaystyle x+5\sqrt{x}+6$
d) $ \displaystyle 3x-6\sqrt{x}-6$ |
Bài tập 11: Rút gọn các phân thức sau:
| a) A = $ \displaystyle \frac{a\sqrt{a}-8+2a-4\sqrt{a}}{a-4}$ | b) B = $ \displaystyle \frac{12\sqrt{6}}{\sqrt{7+2\sqrt{6}}-\sqrt{7-2\sqrt{6}}}$ |
| c) C = $ \displaystyle \frac{\sqrt{{{c}^{2}}+2c+1}}{\left| c \right|-1}$ |
Bài tập 12: Cho x < 0, hãy rút gọn biểu thức: P = $ \displaystyle \left| 2x-\sqrt{{{(5x-1)}^{2}}} \right|$
Bài tập 13: Giải phương trình:
a) $ \displaystyle \sqrt{9-12x+4{{x}^{2}}}=4$
b) $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-2x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}=1$
Bài tập 14: Giải phương trình:
a) $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-2x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}=3$
b) $ \displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}-18x+28}+\sqrt{4{{x}^{2}}-24x+45}=-5-{{x}^{2}}+6x$
Bài tập 15: Tìm các giá trị của x sao cho: $ \displaystyle \sqrt{x+1}<x+3$
Bài tập 16: Tìm các giá trị của x sao cho:
| a) $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-3}\le {{x}^{2}}-3$ | b) $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}>x-6$ |
Bài tập 17: Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức:
$ \displaystyle x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}$
Bài tập 18: Cho biểu thức: A = $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}-\sqrt{{{x}^{2}}+6x+9}$
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị của x để A = 1.
Bài tập 19: Cho biểu thức: A = $ \displaystyle 4x-\sqrt{9{{x}^{2}}-12x+4}$
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A với x = $ \displaystyle \frac{2}{7}$.
Bài tập 20: Cho biểu thức: B = $ \displaystyle 5x+\sqrt{{{x}^{2}}+6x+9}$
a) Rút gọn B.
b) Tìm x để B = –9
Bài tập 21: Tìm x biết rằng: $ \displaystyle \sqrt{4{{x}^{2}}-4x+1}\le 5-x$
Bài tập 22: Giải các phương trình:
| a) $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+2x+1}=\sqrt{x+1}$ | b) $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-9}+\sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}=0$ |
| c) $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-4}-{{x}^{2}}+4=0$ |
Bài tập 23: Giải các phương trình:
a) $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-4x+5}+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+8}+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+9}=3+\sqrt{5}$
b) $ \displaystyle \sqrt{2-{{x}^{2}}+2x}+\sqrt{-{{x}^{2}}-6x-8}=1+\sqrt{3}$
c) $ \displaystyle \sqrt{9{{x}^{2}}-6x+2}+\sqrt{45{{x}^{2}}-30x+9}=\sqrt{6x-9{{x}^{2}}+8}$
Bài tập 24: Tìm GTNN của biểu thức: A = $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+2x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-2x+1}$
Bài tập 25: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) A = $ \displaystyle \sqrt{4{{x}^{2}}-4x+1}+\sqrt{4{{x}^{2}}-12x+9}$
b) B = $ \displaystyle \sqrt{49{{x}^{2}}-42x+9}+\sqrt{49{{x}^{2}}+42x+9}$
Bài tập 26:
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = $ \displaystyle \sqrt{-{{x}^{2}}+x+\frac{3}{4}}$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = $ \displaystyle \sqrt{4{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}(x+1)+{{(x+1)}^{2}}+9}$
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = $ \displaystyle \sqrt{25{{x}^{2}}-20x+4}+\sqrt{25{{x}^{2}}}$