Đại số 9 – Chuyên đề 2 – Nhân, chia căn thức bậc hai

Danh mục: Chuyên đề Toán 9 , Đại số 9 , Toán 9

LÝ THUYẾT

I . Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương

1. Với A ≥ 0, B ≥ 0 thì:

Khai phương một tích

$\displaystyle \sqrt{{A.B}}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$

Nhân các căn thức bậc hai

2. Với A ≥ 0, B > 0 thì:

Khai phương một thương

$\displaystyle \sqrt{{\frac{A}{B}}}=\frac{{\sqrt{A}}}{{\sqrt{B}}}$

Chia hai căn thức bậc hai

II . Bổ sung

1. Với A₁, A₂, …, A_n ≥ 0 thì:

$\displaystyle \sqrt{{{{A}_{1}}.{{A}_{2}}…{{A}_{n}}}}=\sqrt{{{{A}_{1}}}}.\sqrt{{{{A}_{2}}}}…\sqrt{{{{A}_{n}}}}$

2. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $\displaystyle \sqrt{{a+b}}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra Û a = 0 hoặc b = 0)

3. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $\displaystyle \sqrt{{a-b}}\ge \sqrt{a}-\sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra Û a = b hoặc b = 0)

4. Công thức “căn phức tạp”

$\displaystyle \sqrt{{A\pm B}}=\sqrt{{\frac{{A+\sqrt{{{{A}^{2}}-B}}}}{2}}}\pm \sqrt{{\frac{{A-\sqrt{{{{A}^{2}}-B}}}}{2}}}$

Trong đó A > 0; B > 0 và A² > B.

5. BĐT Cô-si (còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân)

Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì: $\displaystyle \frac{{a+b}}{2}\ge \sqrt{{ab}}$ (dấu “=” xảy ra Û a = b).

Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si:

· Dạng có chứa dấu căn:

$\displaystyle a+b\ge 2\sqrt{{ab}}$ với a ≥ 0; b ≥ 0;

$\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{{ab}}}}\ge \frac{2}{{a+b}}$ với a > 0; b > 0.

· Dạng không có chứa dấu căn:

$\displaystyle \frac{{{{{(a+b)}}^{2}}}}{2}\ge ab$ ; $\displaystyle {{(a+b)}^{2}}\ge 4ab$ ; $\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$ ;

6. BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki (đối với hai bộ số)

· Mỗi bộ có hai số (a₁ ; a₂) và (b₁ ; b₂)

$\displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}})}^{2}}\le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})$ ;

· Mỗi bộ có ba số (a₁ ; a₂ ; a₃) và (b₁ ; b₂ ; b₃)

$\displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}})}^{2}}\le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})$ ;

· Mỗi bộ có n số (a₁ ; a₂ ; …; a_n) và (b₁ ; b₂ ; …; b_n)

$\displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}})}^{2}}\le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2})$ ;

(dấu “=” xảy ra Û $\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}=\frac{{{{a}_{2}}}}{{{{b}_{2}}}}=…=\frac{{{{a}_{n}}}}{{{{b}_{n}}}}$ với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Thực hiện phép tính

Bài tập 1: Tính:

a) A = $\displaystyle \sqrt{{3+\sqrt{{5+2\sqrt{3}}}}}.\sqrt{{3-\sqrt{{5+2\sqrt{3}}}}}$ ;

b) B = $\displaystyle \sqrt{{4+\sqrt{8}}}.\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{2}}}}}.\sqrt{{2-\sqrt{{2+\sqrt{2}}}}}$ .

Bài tập 2: Thực hiện phép tính:

a) $\displaystyle (\sqrt{{12}}+3\sqrt{{15}}-4\sqrt{{135}}).\sqrt{3}$ ;	b) $\displaystyle \sqrt{{252}}-\sqrt{{700}}+\sqrt{{1008}}-\sqrt{{448}}$ ;
c) $\displaystyle 2\sqrt{{40\sqrt{{12}}}}-2\sqrt{{\sqrt{{75}}}}-3\sqrt{{5\sqrt{{48}}}}$ .

Bài tập 3: Thực hiện phép tính:

a) $\displaystyle (\sqrt{{12}}+\sqrt{{75}}+\sqrt{{27}}):\sqrt{{15}}$ ;	c) $\displaystyle \left( {\frac{{\sqrt{1}}}{{\sqrt{7}}}-\sqrt{{\frac{{16}}{7}}}+\sqrt{{\frac{9}{7}}}} \right):\sqrt{7}$ .
b) $\displaystyle (12\sqrt{{50}}-8\sqrt{{200}}+7\sqrt{{450}}):\sqrt{{10}}$ ;

Bài tập 4: Cho a = $\displaystyle \sqrt{{\frac{3}{5}}}+\sqrt{{\frac{5}{3}}}$ . Tính giá trị của biểu thức: M = $\displaystyle \sqrt{{15{{a}^{2}}-8a\sqrt{{15}}+16}}$ .

Bài tập 5: Tính:

$\displaystyle \frac{{\sqrt{{99999}}}}{{\sqrt{{11111}}}}$ ;

$\displaystyle \frac{{\sqrt{{{{{84}}^{2}}-{{{37}}^{2}}}}}}{{\sqrt{{47}}}}$ ;

$\displaystyle \sqrt{{\frac{{5({{{38}}^{2}}-{{{17}}^{2}})}}{{8({{{47}}^{2}}-{{{19}}^{2}})}}}}$ ;

$\displaystyle \sqrt{{\frac{{0,2\,\,.\,\,1,21\,\,.\,\,0,3}}{{7,5\,\,.\,\,3,2\,\,.\,\,0,64}}}}$ .

Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:

a) $\displaystyle \sqrt{{{{{27}}^{2}}-{{{23}}^{2}}}}$ ;	b) $\displaystyle \sqrt{{{{{37}}^{2}}-{{{35}}^{2}}}}$ ;
c) $\displaystyle \sqrt{{{{{65}}^{2}}-{{{63}}^{2}}}}$ ;	d) $\displaystyle \sqrt{{{{{117}}^{2}}-{{{108}}^{2}}}}$ .

Bài tập 7: Cho hai số có tổng bằng $\displaystyle \sqrt{{19}}$ và có hiệu bằng $\displaystyle \sqrt{7}$ . Tính tích của hai số đó.

Bài tập 8: Tính $\displaystyle \sqrt{A}$ biết:

a) A = $\displaystyle 13-2\sqrt{{42}}$ ;	b) A = $\displaystyle 46+6\sqrt{5}$ ;
c) A = $\displaystyle 12-3\sqrt{{15}}$ .

Bài tập 9: Tính:

a) $\displaystyle \sqrt{{3+\sqrt{5}}}-\sqrt{{3-\sqrt{5}}}-\sqrt{2}$ ;	b) $\displaystyle \sqrt{{4-\sqrt{7}}}-\sqrt{{4+\sqrt{7}}}+\sqrt{7}$ ;
c) $\displaystyle \sqrt{{6,5+\sqrt{{12}}}}+\sqrt{{6,5-\sqrt{{12}}}}+2\sqrt{6}$ .

Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:

a) $\displaystyle (4+\sqrt{{15}})(\sqrt{{10}}-\sqrt{6})\sqrt{{4-\sqrt{{15}}}}$ ;	c) $\displaystyle \frac{{\sqrt{{\sqrt{5}+2}}+\sqrt{{\sqrt{5}-2}}}}{{\sqrt{{\sqrt{5}+1}}}}-\sqrt{{3-2\sqrt{2}}}$ .
b) $\displaystyle \sqrt{{3-\sqrt{5}}}(\sqrt{{10}}-\sqrt{2})(3+\sqrt{5})$ ;

Bài tập 11: Biết x = $\displaystyle (\sqrt{{10}}-\sqrt{6}).\sqrt{{4+\sqrt{{15}}}}$ .

Tính giá trị của biểu thức: M = $\displaystyle \frac{{\sqrt{{4x+4+\frac{1}{x}}}}}{{\sqrt{x}\left| {2{{x}^{2}}-x-1} \right|}}$

Bài tập 12: Tính:

a) Q = $\displaystyle (3-\sqrt{5})\sqrt{{3+\sqrt{5}}}+(3+\sqrt{5})\sqrt{{3-\sqrt{5}}}$ ;

b) R = $\displaystyle \sqrt{{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}.\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}}}.\sqrt{{2-\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}}}$ .

Bài tập 13: So sánh:

a) $\displaystyle 3+\sqrt{5}$ và $\displaystyle 2\sqrt{2}+\sqrt{6}$ ;	b) $\displaystyle 2\sqrt{3}+4$ và $\displaystyle 3\sqrt{2}+\sqrt{{10}}$ ;
c) 18 và $\displaystyle \sqrt{{15}}.\sqrt{{17}}$ .

Bài tập 14^*:

a) Nêu một cách tính nhẩm 997²;

b) Tính tổng các chữ số của A, biết rằng $\displaystyle \sqrt{A}$ = 99…96 (có 100 chữ số 9).

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức

Bài tập 15: Rút gọn biểu thức M = $\displaystyle \sqrt{{4+\sqrt{7}}}-\sqrt{{4-\sqrt{7}}}$ .

Bài tập 16: Rút gọn biểu thức:

a) $\displaystyle \sqrt{{11-2\sqrt{{10}}}}$ ;	b) $\displaystyle \sqrt{{9-2\sqrt{{14}}}}$ ;
c) $\displaystyle \sqrt{{4+2\sqrt{3}}}-\sqrt{{4-2\sqrt{3}}}$ ;	d) $\displaystyle \sqrt{{9-4\sqrt{5}}}-\sqrt{{9+4\sqrt{5}}}$ ;
e) $\displaystyle \sqrt{{4-\sqrt{7}}}-\sqrt{{4+\sqrt{7}}}$ ;	f) $\displaystyle \frac{{\sqrt{3}+\sqrt{{11+6\sqrt{2}}}-\sqrt{{5+2\sqrt{6}}}}}{{\sqrt{2}+\sqrt{{6+2\sqrt{5}}}-\sqrt{{7+2\sqrt{{10}}}}}}$ ;
g) $\displaystyle \sqrt{{5\sqrt{3}+5\sqrt{{48-10\sqrt{{7+4\sqrt{3}}}}}}}$ ;
h) $\displaystyle \sqrt{{4+\sqrt{{10+2\sqrt{5}}}}}+\sqrt{{4-\sqrt{{10+2\sqrt{5}}}}}$ ;	i) $\displaystyle \sqrt{{94-42\sqrt{5}}}-\sqrt{{94+42\sqrt{5}}}$ .

Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $\displaystyle \frac{{\sqrt{6}+\sqrt{{14}}}}{{2\sqrt{3}+\sqrt{{28}}}}$ ;	b) B = $\displaystyle \frac{{9\sqrt{5}+3\sqrt{{27}}}}{{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$ ;
c) C = $\displaystyle \frac{{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}}$ ;	d) D = $\displaystyle \frac{{3\sqrt{8}-2\sqrt{{12}}+\sqrt{{20}}}}{{3\sqrt{{18}}-2\sqrt{{27}}+\sqrt{{45}}}}$ .

Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: M = $\displaystyle \frac{{\sqrt{{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}-\sqrt{{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}}}{{\sqrt{{\sqrt{7}-2}}}}$ .

Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $\displaystyle \sqrt{{6+2\sqrt{2}.\sqrt{{3-\sqrt{{4+2\sqrt{3}}}}}}}$ ;	b) B = $\displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{{3-\sqrt{{29-12\sqrt{5}}}}}$ ;
c) C = $\displaystyle \sqrt{{3-\sqrt{5}}}.(\sqrt{{10}}-\sqrt{2})(3+\sqrt{5})$ .

Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: A = $\displaystyle \sqrt{{x+\sqrt{{2x-1}}}}-\sqrt{{x-\sqrt{{2x-1}}}}$ .

Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: P = $\displaystyle \sqrt{{x+2\sqrt{{x-1}}}}+\sqrt{{x-2\sqrt{{x-1}}}}$ .

Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: A = $\displaystyle \sqrt{{x+2\sqrt{{2x-4}}}}+\sqrt{{x-2\sqrt{{2x-4}}}}$ .

Bài tập 23: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) A = $\displaystyle \sqrt{{\frac{{{{{(x-6)}}^{4}}}}{{{{{(5-x)}}^{2}}}}}}-\frac{{{{x}^{2}}-36}}{{x-5}}$ (x < 5), tại x = 4;

b) B = $\displaystyle 5x-\sqrt{{125}}+\frac{{\sqrt{{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}}}}{{\sqrt{{x+5}}}}$ (x ≥ 0), tại x = $\displaystyle \sqrt{5}$ .

Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:

a) A =

$\displaystyle \frac{2}{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}.\sqrt{{\frac{{3{{x}^{2}}+6xy+3{{y}^{2}}}}{4}}}$ ;

b) B =

$\displaystyle \frac{1}{{2a-1}}.\sqrt{{5{{a}^{4}}(1-4a+4{{a}^{2}})}}$ .

Bài tập 25: Cho a > 0, hãy so sánh $\displaystyle \sqrt{{a+1}}+\sqrt{{a+3}}$ với $\displaystyle 2\sqrt{{a+2}}$ .

Bài tập 26: Rút gọn biểu thức:

M = $\displaystyle \frac{{\sqrt{{1+\sqrt{{1-{{x}^{2}}}}}}\left[ {\sqrt{{{{{(1+x)}}^{3}}}}-\sqrt{{{{{(1-x)}}^{3}}}}} \right]}}{{2+\sqrt{{1-{{x}^{2}}}}}}$ .

Bài tập 27: Cho biểu thức: A = $\displaystyle \sqrt{{\frac{{{{{({{x}^{2}}-3)}}^{2}}+12{{x}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}}}+\sqrt{{{{{(x+2)}}^{2}}-8x}}$ .

a) Rút gọn A;

b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.

Bài tập 28: Cho biểu thức: A = $\displaystyle \frac{{x+\sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}{{x-\sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}-\frac{{x-\sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}{{x+\sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}$ .

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A;

b) Rút gọn biểu thức A;

c) Tìm giá trị của x để A < 2.

Bài tập 29: Lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên, trong đó:

a) $\displaystyle 2+\sqrt{3}$ là một nghiệm của phương trình;

b) $\displaystyle 6-4\sqrt{2}$ là một nghiệm của phương trình.

Bài tập 30^*:

a) Rút gọn biểu thức A = $\displaystyle \sqrt{{1+\frac{1}{{{{a}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{(a+1)}}^{2}}}}}}$ với a > 0;

b) Tính giá trị của tổng:

B = $\displaystyle \sqrt{{1+\frac{1}{{{{1}^{2}}}}+\frac{1}{{{{2}^{2}}}}}}+\sqrt{{1+\frac{1}{{{{2}^{2}}}}+\frac{1}{{{{3}^{2}}}}}}+\sqrt{{1+\frac{1}{{{{3}^{2}}}}+\frac{1}{{{{4}^{2}}}}}}+…+\sqrt{{1+\frac{1}{{{{{99}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{100}}^{2}}}}}}$ .

DẠNG 3: Giải phương trình

Bài tập 31: Giải phương trình:

$\displaystyle \sqrt{{5{{x}^{2}}}}=2x+1$ ;

$\displaystyle \frac{{\sqrt{{2x-3}}}}{{\sqrt{{x-1}}}}=2$ .

Bài tập 32: Giải phương trình:

a) $\displaystyle 1+\sqrt{{3x+1}}=3x$ ;	b) $\displaystyle \sqrt{{2+\sqrt{{3x-5}}}}=\sqrt{{x+1}}$ ;
c) $\displaystyle \sqrt{{\frac{{5x+7}}{{x+3}}}}=4$ ;	d) $\displaystyle \frac{{\sqrt{{5x+7}}}}{{\sqrt{{x+3}}}}=4$ .

Bài tập 33: Tìm x và y biết rằng x + y + 12 = $\displaystyle 4\sqrt{x}+6\sqrt{{y-1}}$ .

Bài tập 34: Tìm x, y, z biết: $\displaystyle \sqrt{{x-a}}+\sqrt{{y-b}}+\sqrt{{z-c}}=\frac{1}{2}\left( {x+y+z} \right)$ trong đó a+b+c = 3.

Bài tập 35: Giải phương trình: $\displaystyle \sqrt{{x+3-4\sqrt{{x-1}}}}+\sqrt{{x+8+6\sqrt{{x-1}}}}=5$ .

Bài tập 36: Giải phương trình: $\displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-5x+6}}+\sqrt{{x+1}}=\sqrt{{x-2}}+\sqrt{{{{x}^{2}}-2x-3}}$ .

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài tập 37: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = $\displaystyle \sqrt{{x-5}}+\sqrt{{13-x}}$ .

Bài tập 38:

a) Tìm GTLN của biểu thức A = $\displaystyle \sqrt{{x+1}}-\sqrt{{x-8}}$ ;

b) Tìm GTNN của biểu thức B = $\displaystyle \sqrt{{x-3}}+\sqrt{{5-x}}$ .

Bài tập 39: Cho biểu thức: M = $\displaystyle \frac{{{{x}^{2}}-\sqrt{2}}}{{{{x}^{4}}+(\sqrt{3}-\sqrt{2}){{x}^{2}}-\sqrt{6}}}$

Rút gọn rồi tìm giá trị của x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức

Bài tập 40: Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b hay không nếu:

$\displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2}$ ;

$\displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{{\sqrt{2}}}$ .

Bài tập 41: Cho ba số x, y, $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}$ là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số $\displaystyle \sqrt{x}$ , $\displaystyle \sqrt{y}$ đều là số hữu tỉ.

Bài tập 42: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số $\displaystyle 2a+b-2\sqrt{{cd}}$ và $\displaystyle 2c+d-2\sqrt{{ab}}$ .

Bài tập 43:

a) Chứng minh rằng với a > 0 thì, b > 0 thì $\displaystyle \sqrt{{a+b}}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ;

b) So sánh $\displaystyle \sqrt{{2017+2018}}$ với $\displaystyle \sqrt{{2017}}+\sqrt{{2018}}$ .

Bài tập 44: Cho a, b, x, y > 0. Chứng minh rằng $\displaystyle \sqrt{{ax}}+\sqrt{{by}}\le \sqrt{{(a+b)(x+y)}}$ .

Bài tập 45: Cho a, b, c là các số thực không âm.

Chứng minh: $\displaystyle a+b+c\ge \sqrt{{ab}}+\sqrt{{ac}}+\sqrt{{bc}}$ .

Bài tập 46: Chứng minh bất đẳng thức: $\displaystyle \sqrt{{n+a}}+\sqrt{{n-a}}<2\sqrt{n}$ với 0 < |a| ≤ n.

Áp dụng (không dùng máy tính hoặc bảng số): chứng minh rằng: $\displaystyle \sqrt{{101}}-\sqrt{{99}}>0,1$ .

Bài tập 47: Cho A, B . Chứng minh rằng số 99999 + $\displaystyle 11111\sqrt{3}$ không thể biểu diễn dưới dạng $\displaystyle {{(A+B\sqrt{3})}^{2}}$ .

Bài tập 48: Cho A = $\displaystyle a\sqrt{a}+\sqrt{{ab}}$ và B = $\displaystyle b\sqrt{b}+\sqrt{{ab}}$ với a > 0, b > 0.

Chứng minh rằng nếu và đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là các số hữu tỉ.

Bài tập 49: Chứng minh các hằng đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ $\displaystyle \sqrt{b}$ :

a) $\displaystyle \sqrt{{a+\sqrt{b}}}\pm \sqrt{{a-\sqrt{b}}}=\sqrt{{2(a\pm \sqrt{{{{a}^{2}}-b}})}}$ ;

b) $\displaystyle \sqrt{{a\pm \sqrt{b}}}=\sqrt{{\frac{{a+\sqrt{{{{a}^{2}}-b}}}}{2}}}\pm \sqrt{{\frac{{a-\sqrt{{{{a}^{2}}-b}}}}{2}}}$ .

Bài tập 50: Chứng minh rằng: $\displaystyle 2(\sqrt{{n+1}}-\sqrt{n})<\frac{1}{{\sqrt{n}}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{{n-1}})$ với n Î $\displaystyle {{\mathbb{N}}^{*}}$ .

Áp dụng: cho S = $\displaystyle 1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{100}}}}$ . Chứng minh rằng 18 < S < 19.

Bài tập 51: Chứng minh rằng: $\displaystyle \frac{1}{{2\sqrt{{n+1}}}}<\sqrt{{n+1}}-\sqrt{n}$ với n Î $\displaystyle \mathbb{N}$ .

Áp dụng chứng minh rằng: $\displaystyle 1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{2500}}}}<100$ .

Bài tập 52: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + xz = 1. Tính tổng:

S = $\displaystyle x\sqrt{{\frac{{(1+{{y}^{2}})(1+{{z}^{2}})}}{{1+{{x}^{2}}}}}}+y\sqrt{{\frac{{(1+{{x}^{2}})(1+{{z}^{2}})}}{{1+{{y}^{2}}}}}}+z\sqrt{{\frac{{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2}})}}{{1+{{z}^{2}}}}}}$ .

Bài tập 53: Cho a, b, c là ba số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

A = $\displaystyle \sqrt{{\frac{1}{{{{{(a-b)}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{(b-c)}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{(c-a)}}^{2}}}}}}$ là số hữu tỉ.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.

Bài tập 54: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x + y + z ≥ $\displaystyle \sqrt{{xy}}+\sqrt{{yz}}+\sqrt{{zx}}$ .

Bài tập 55: Cho A = $\displaystyle \sqrt{{x+3}}+\sqrt{{5-x}}$ . Chứng minh rằng A ≤ 4.

Bài tập 56: Cho B = $\displaystyle \frac{{{{x}^{3}}}}{{1+y}}+\frac{{{{y}^{3}}}}{{1+x}}$ trong đó x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện xy = 1. Chứng minh rằng B ≥ 1.