Các em tải bản PDF ở cuối bài để dễ dàng ôn tập và in ra học tập tốt hơn
Bộ tài liệu gồm những bài kiểm tra, đề thi được tổng hợp ở nhiều nguồn
DẠNG 1: Thực hiện phép tính.
Bài tập 1: Tính:
a) A = √(3+√5+2√3)(3−√5+2√3)=√32−(√5+2√3)2
= √9−5−2√3=√4−2√3=√(√3−1)2=√3−1.
b) B = √4+√4.√2.√(2+√2+√2)(2−√2+√2)=√4+2√2.√22−(√2+√2)2
= √2(2+√2).√2−√2=√2(2+√2)(2−√2)=√2.2=2.
Bài tập 2: Thực hiện phép tính:
a) √36+3√9.5−4√92.5=6+9√5−36√5=6−27√5;
b) √36.7−√100.7+√144.7−√64.7=√7.(√36−√100+√144−√64)
= √7.(6−10+12−8)=0;
c) 2√40√12−2√5√3−3√20√3=2√80√3−2√5√3−6√5√3
= 8√5√3−2√5√3−6√5√3=√5√3(8−2−6)=0.
Bài tập 3: Thực hiện phép tính:
a) 2√5; | b) 17√5; | c) 0. |
Bài tập 4:
Ta có: √35+√53=√3√5+√5√3=8√15.
Vậy M = √15(8√15)2−8.8√15.√15+16=√82−82+16=√16=4.
Bài tập 5: Tính:
a) √9999911111=√9=3.
b) √842−37247=√(84+37)(84−37)47=√121.4747=√121=11.
c) √5(382−172)8(472−192)=√5(38+17)(38−17)8(47+19)(47−19)=√5.55.218.66.28=√2564=58.
d) √0,2.1,21.0,37,5.3,2.0,64=√2.121.375.32.64=√12125600=11160.
Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:
a) √(27+23)(27−23)=√50.4=√2.52.22=10√2;
b) √(37+35)(37−35)=√72.2=√144=12;
c) √(65+63)(65−63)=√128.2=√256=16;
d) √(117+108)(117−108)=√225.9=15.3=45.
Bài tập 7: Tích của hai số là: √19+√72.√19−√72=19−74=3.
Bài tập 8: Tính √A biết:
a) A = (√7−√6)2; √A=√7−√6;
b) A = (3√5+1)2; √A=3√5+1;
c) 2A = 24−6√15=(√15−3)2; √A=√15−3√2.
Bài tập 9: Tính:
a) √6+2√52−√6−2√52−√2=√(√5+1)2√2−√(√5−1)2√2−√2
= √5+1−√5+1√2−√2=√2−√2=0;
b) Biến đổi tương tự câu a). Đáp số: √7−√2;
c) Biến đổi tương tự câu a). Đáp số: 4√6.
Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:
a) Viết 4+√15 thành √4+√15.√4+√15 ta được:
√4+√15.√4+√15.√4−√15.(√10−√6)
= √4+√15.1.√2.(√5−√3)
= √8+2√15.(√5−√3)=(√5+√3)(√5−√3)=2.
b) Đáp số: 8.
c) Đặt √√5+2+√√5−2√√5+1 = m, √3−2√2 = n.
Tính m2 ta được m2 = 2 nên m = √2. Tính n ta được √2−1. Đáp số: 1.
Bài tập 11:
M = √(2x+1)2√x.√x.|2x2−x−1|=2x+1x.|2x2−x−1|.
x = (√10−√6).√4+√15=√2.(√5−√3).√4+√15
= (√5−√3).√8+2√15=(√5−√3)(√5+√3)=2.
Vậy M = 2.2+12.|2.22−2−1|=52.|5|=12.
Bài tập 12: Tính:
a)
Q = √3−√5.√3+√5.(√3−√5+√3+√5)
= √32−(√5)2.(√3−√5+√3+√5)
= 2.(√3−√5+√3+√5)=√2.√2.(√3−√5+√3+√5)
= √2.(√3−√5.√2+√3+√5.√2)=√2.(√6−2√5+√6+2√5)
= √2.(√(√5−1)2+√(√5+1)2)=√2.(√5−1+√5+1)=2√10;
b) R = √2+√3.√2+√2+√3.√(2+√2+√2+√3).(2−√2+√2+√3)
= √2+√3.√2+√2+√3.√4−(2+√2+√3)
= √2+√3.√2+√2+√3.√2−√2+√3
= √2+√3.√(2+√2+√3).(2−√2+√3)=√2+√3.√4−(2+√3)
= √2+√3.√2−√3=√4−3=√1=1.
Bài tập 13: So sánh:
a) Ta có: (3+√5)2=9+5+6√5=14+√36.√5=14+√180,
(2√2+√6)2=8+6+4√12=14+√16.√12=14+√192.
Vì 180 < 192 nên 14+√180 < 14+√192 hay 3+√5 < 2√2+√6.
b) Tương tự câu a): 2√3+4 > 3√2+√10.
c) Cách 1: Ta có: 182 = 324,
(√15.√17)2=255.
Vì 324 > 255 nên 182 > (√15.√17)2 hay 18 > √15.√17.
Cách 2: Ta có: √15.√17=√16−1.√16+1
= √(16−1).(16+1)=√162−1<√162=16<18.
Bài tập 14*:
= 99…9⏟100chuso92.100…0⏟101chuso0+16=99…9⏟100chuso9200…0⏟99chuso016
Tổng các chữ số của A bằng: 900 + 2 + 1 + 6 = 909.
Bài tập 15:
Có: 4+√7=8+2√72=(√7+1√2)2; 4−√7=8−2√72=(√7−1√2)2
Do đó: M = √(√7+1√2)2−√(√7−1√2)2=√7+1√2−√7−1√2=2√2=√2.
Dễ thấy M > 0.
M2 = (√4+√7−√4−√7)2=4+√7+4−√7−2√(4+√7)(4−√7)
= 8−2√9=2.
Suy ra M = √2. (Vì M > 0).
* Nhận xét: Với A = 4, B = 7 thì A2 – B = 16 – 7 = 9 là một số chính phương nên ta nghĩ đến việc sử dụng công thức “căn phức tạp”.
√A±B=√A+√A2−B2±√A−√A2−B2
* Trình bày lời giải:
M = √4+√7−√4−√7
= (√4+√42−72+√4−√42−72)−(√4+√42−72−√4−√42−72)
= √72+√12−√72+√12=2.√12=√2.
Bài tập 16: Rút gọn biểu thức:
a) √10−1; | b) √7−√2; |
c) (√3+1)−(√3−1)=2; | d) (√5−2)−(√5+2)=−4; |
e) −√2; | f) 3; |
g) √7+4√3=2+√3;√28−10√3=5−√3. Đáp số: 5. | |
h) √5+1; | i) (7−3√5)−(7+3√5)=−6√5. |
Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:
a) A = √2.√3+√2.√72√3+√4.√7=√2.(√3+√7)2.(√3+√7)=√22;
b) B = 9√5+9√3√5+√3=9.(√5+√3)√5+√3=9;
c) C = (√2+√3+√4)+√2.(√2+√3+√4)√2+√3+√4=(1+√2).(√2+√3+√4)√2+√3+√4
= 1+√2.
d) D = 3.2√2−2.2√3+2√53.3√2−2.3√3+3√5=2.(3√2−2√3+√5)3.(3√2−2√3+√5)=23.
Bài tập 18: Tính M2 = 2. Đáp số: −√2. (Xem lại cách 2 bài tập 15)
Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức:
a) A = √6+2√2.√3−(√3+1)=√6+2√2.√2−√3=√6+2√4−2√3
= √6+2(√3−1)=√4+2√3=1+√3;
b) B = 1;
c) C = 8.
Bài tập 20: Rút gọn biểu thức:
ĐKXĐ: {2x−1≥0x≥√2x−1⇔x≥12
* Cách 1:
A√2=√2x+2√2x−1−√2x−2√2x−1
= √2x−1+2√2x−1+1−√2x−1−2√2x−1+1
= √(√2x−1+1)2−√(√2x−1−1)2
= √2x−1+1−|√2x−1−1|
TH1: Nếu 12≤x<1 thì A√2=√2x−1+1−(1−√2x−1)=2√2x−1.
Do đó: A = 2√2x−1√2=√4x−2
TH2: Nếu x ≥ 1 thì A√2=√2x−1+1−(√2x−1−1)=2
Do đó: A = √2.
* Cách 2:
Đặt √2x−1 = y ≥ 0, ta có 2x – 1 = y2.
A = √2x+2√2x−1√2−√2x−2√2x−1√2=√y2+2y+1√2−√y2−2y+1√2=y+1√2−|y−1|√2
TH1: Với 0 ≤ y < 1 (tức là 12≤x<1) thì: A = 1√2(y+1+y−1)=2y√2=y√2=√4x−2
TH2: Với y ≥ 1 (tức là x ≥ 1) thì: A = 1√2(y+1−y+1)=√2
* Cách 3: Xét A2 ta có:
A2 = (x+√2x−1)+(x−√2x−1)−2(√(x+√2x−1)(x−√2x−1))
= 2x−2√x2−2x+1=2x−2|x−1|.
TH1: Với 12≤x<1 thì A2 = 2x – 2(1 – x) = 4x – 2, do đó A = √4x−2.
TH2: Với x ≥ 1 thì A2 = 2, do đó A = √2 (chú ý rằng A ≥ 0).
Bài tập 21: Rút gọn biểu thức:
ĐKXĐ: {x−1≥0x≥2√x−1⇔x≥1
P = √(√x−1+1)2+√(√x−1−1)2=√x−1+1+|√x−1−1|
TH1: Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì P = √x−1+1+1−√x−1=2
TH2: Nếu x > 2 thì P = 2√x−1.
Bài tập 22: Nếu 2 ≤ x < 4 thì A = 2√2. Nếu x ≥ 4 thì A = 2√x−2.
Bài tập 23:
a) A = (x−6)2|5−x|−x2−36x−5.
Do x < 5 nên 5 – x = 5 – x. Ta có:
A = (x−6)25−x−x2−36x−5=x2−12x+36+x2−365−x=2x2−12x5−x.
Tại x = 4 thì A = 2.42−12.45−4=−16
b) Với x ≥ 0 thì √x3+5x2 và √x+5 có nghĩa. Giá trị của biểu thức B xác định. Ta có:
B = 5x−√125+√x2.√x+5√x+5=5x−√125+|x|=6x−5√5 (vì x ≥ 0).
Tại x = √5 thì B = 6.√5−5√5=√5.
Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:
a) ĐK: x≠±y. A = 2x2−y2.√3.|x+y|2=2√3|x+y|2(x−y)(x+y)=√3|x+y|(x−y)(x+y)
TH1: Nếu x > – y thì x + y > 0, ta có A = √3(x+y)(x−y)(x+y)=√3x−y
TH1: Nếu x < – y thì x + y < 0, ta có A = −√3(x+y)(x−y)(x+y)=−√3x−y
b) ĐK: a≠12. B = a2√5.|1−2a|2a−1
TH1: Nếu a<12 thì 1 – 2a > 0, ta có B = −a2√5.
TH1: Nếu a>12 thì 1 – 2a < 0, ta có B = a2√5.
Bài tập 25:
Đặt A = √a+1+√a+3 > 0;
B = 2√a+2 > 0.
Ta có: A2=2a+4+2√(a+1)(a+3)
A2=2(a+2)+2√(a+2−1)(a+2+1)
A2=2(a+2)+2√(a+2)2−1
A2<2(a+2)+2√(a+2)2=4(a+2) (vì a > 0)
B = 4(a + 2).
Suy ra A2 < B2 ⇔ A < B (vì A > 0; B > 0).
Bài tập 26: Rút gọn biểu thức:
ĐKXĐ: –1 ≤ x ≤ 1.
Áp dụng công thức “căn phức tạp” ta tính được:
√1+√1−x2=√1+√1−1+x22+√1−√1−1+x22
= √1+|x|2+√1−|x|2
= {1√2(√1+x+√1−x),n˜Oux≥01√2(√1−x+√1+x),n˜Oux<0
Cả hai trường hợp đều có cùng một kết quả.
√(1+x)3−√(1−x)3=(√1+x−√1−x)[(1+x)+√1−x2+(1−x)]
= (√1+x−√1−x)(2+√1−x2).
Vậy M = 1√2(√1+x+√1−x)(√1+x−√1−x)(2+√1−x2)2+√1−x2
M = 1√2[(1+x)−(1−x)]=√2x.
Bài tập 27:
a) A = √(x2+3)2x2+√(x−2)2=x2+3|x|+|x−2|
TH1: Nếu x < 0 thì A = −x2−3x+2−x=−x2−3+2x−x2x=−2x2+2x−3x
TH2: Nếu 0 < x ≤ 2 thì A = x2+3x+2−x=x2+3+2x−x2x=2x+3x
TH3: Nếu x > 2 thì A = x2+3x+x−2=x2+3+x2−2xx=2x2−2x+3x
b) Với x ∈ Z thì |x – 2| Î Z, do đó để A Î Z thì x2+3⋮|x| hay 3⋮|x|. Suy ra x = ±1; x = ±3.
Bài tập 28:
a) ĐK: {x2−2x≥0x≠±√x2−2x⇔{x(x−2)≥0x2≠x2−2x⇔[x≥2x<0.
b) A = 2√x2−2x với điều kiện trên.
c) Giải A < 2 ta được: √x2−2x<1⇔x2−2x<1⇔(x−1)2<2
⇔−√2<x−1<√2⇔1−√2<x<1+√2.
Kết hợp với điều kiện nêu ở câu a), các giá trị phải tìm của x là:
1−√2<x<0 và 2≤x<1+√2.
Bài tập 29:
a) Đặt x = 2+√3. Ta có x2=7+4√3⇒x2=7+4(x−2)⇒x2=4x−1.
Phương trình x2−4x+1=0 nhận 2+√3 là một nghiệm.
b) Phương trình x2−12x+4=0 nhận 6−4√2 là một nghiệm.
Chú ý: Phương trình x2−4x+1=0 còn có nghiệm là 2−√3.
Phương trình x2−12x+4=0 còn có nghiệm là 6+4√2.
Bài tập 30*:
a) A2 = 1+1a2+1(a+1)2=a2(a+1)2+(a+1)2+a2a2(a+1)2
= a2(a2+2a+1+1)+(a+1)2a2(a+1)2=a4+2a2(a+1)+(a+1)2a2(a+1)2=
= (a2+a+1)2a2(a+1)2=[a2+a+1a(a+1)]2.
Do a > 0 nên A > 0 và A = a2+a+1a(a+1).
b) Từ câu a) suy ra: √1+1a2+1(a+1)2=a2+a+1a(a+1)=1+1a(a+1)=1+1a−1a+1
Do đó: B = (1+11−12)+(1+12−13)+(1+13−14)+…+(1+199−1100)
= 99 + (11−12+12−13+13−14+…+199−1100)=100−1100=99,99
Bài tập 31: Giải phương trình:
a) Điều kiện xác định của phương trình là: x≥−12
√5x2=2x+1
Suy ra 5x2=(2x+1)2
⇔5x2=4x2+4x+1
⇔x2−4x−1=0
⇔(x2−4x+4)−5=0
⇔(x−2)2−(√5)2=0
⇔(x−2+√5)(x−2−√5)=0
⇔[x−2+√5=0x−2−√5=0⇔[x=2−√5x=2+√5
Vì x = 2−√5 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2+√5.
b) Điều kiện xác định của phương trình là: {2x−3≥0x−1>0⇔{x≥1,5x>1⇔x≥1,5
Khi đó phương trình được đưa về dạng:
√2x−3√x−1=2
Suy ra: 2x−3x−1=22
Hay 2x – 3 = 4(x – 1)
⇔2x=1⇔x=0,5 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 1,5.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập 32: Giải phương trình:
a) Điều kiện xác định của phương trình là x≥13
Biến đổi phương trình về dạng:
3x+1=(3x−1)2
⇔9x(x−1)=0⇔[x=0x=1
Phương trình đã cho có nghiệm x = 1.
b) Điều kiện xác định của phương trình là: {3x−5≥0x+1≥0⇔{x≥53x≥−1⇔x≥53
Phương trình được đưa về dạng;
2+√3x−5=x+1⇔√3x−5=x−1⇔3x−5=x2−2x+1⇔x2−5x+6=0
⇔(x−3)(x−2)=0⇔[x−3=0x−2=0⇔[x=3x=2, thỏa mãn điều kiện xác định.
Phương trình đã cho có nghiệm x = 2, x = 3.
c) Điều kiện xác định của phương trình là:
{5x+7≥0x+3>0⇔{x≥−75x>−3⇔x≥−75
hoặc {5x+7≤0x+3<0⇔{x≤−75x<−3⇔x<−3
Phương tình được đưa về dạng: 5x+7x+3=42
Giải phương trình này được x=−4111 thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=−4111.
d) Điều kiện xác định của phương trình là:
{5x+7≥0x+3>0⇔{x≥−75x>−3⇔x≥−75
Khi đó phương tình đưa về dạng: √5x+7x+3=4.
Theo câu c), ta có x=−4111, nhưng không thỏa mãn điều kiện x≥−75. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập 33: ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 1.
(√x−2)2+(√y−1−3)2=0;
Đáp số: x = 4; y = 10.
Bài tập 34: ĐKXĐ: x ≥ a; y ≥ b; z ≥ c.
√x−a+√y−b+√z−c=12(x+y+z)⇔x+y+z=2(√x−a+√y−b+√z−c)⇔x+y+z−2√x−a−2√y−b−2√z−c=0⇔x+y+z−(a+b+c)−2√x−a−2√y−b−2√z−c+3=0⇔(x−a−2√x−a+1)+(y−b−2√y−b+1)+(z−c−2√z−c+1)=0⇔(√x−a−1)2+(√y−b−1)2+(√z−c−1)2=0
Đáp số: x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1.
Bài tập 35: ĐKXĐ: x ≥ 1.
√(√x−1−2)2+√(√x−1+3)2=5|√x−1−2|+√x−1+3=5|√x−1−2|=2−√x−12−√x−1≥0√x−1≤2x≤5
Kết hợp với ĐKXĐ ta được 1≤x≤5.
Bài tập 36: √(x−2)(x−3)+√x+1=√x−2+√(x+1)(x−3)
ĐKXĐ: x ≥ 3.
√(x−2)(x−3)+√x+1=√x−2+√(x+1)(x−3)√(x−2)(x−3)−√(x+1)(x−3)=√x−2−√x+1√x−3(√x−2−√x+1)−(√x−2−√x+1)=0(√x−3−1)(√x−2−√x+1)=0x=4
Bài tập 37: ĐKXĐ: 5 ≤ x ≤ 13
* Cách thứ nhất: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: a+b≥2√ab
P2 = x−5+13−x+2√(x−5)(13−x)
P2 ≤ 8 + [(x – 5) + (13 – x)] = 16. (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 5 = 13 – x ⇔ x = 9).
Suy ra max P2 = 16, do đó max P = 4 (khi và chỉ khi x = 9).
* Cách thứ hai: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki:
(a1b1+a2b2)2≤(a21+a22)(b21+b22)
Với a1 = a2 = 1; b1 = √x−5; b2 = √13−x.
P2 = (1.√x−5+1.√13−x)2≤(12+12)[(√x−5)2+(√13−x)2]
hay P2 ≤ 2 . 8 = 16 (dấu “=” xảy ra ⇔ x−51=13−x1⇔x=9).
Suy ra max P2 = 16, do đó max P = 4 (khi và chỉ khi x = 9).
Bài tập 38:
a) Áp dụng bất đẳng thức √a−√b≤√a−b (với a ≥ b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 3.)
A = √x+1−√x−8≤√(x+1)−(x−8)=√9=3 (dấu “=” xảy ra ⇔ x = 8)
Suy ra max A = 3 (khi và chỉ khi x = 8).
b) Áp dụng bất đẳng thức √a+√b≥√a+b (với a, b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 2.)
B = √x−3+√5−x≥√x−3+5−x=√2 (dấu “=” xảy ra ⇔ x = 3 hoặc x = 5)
Suy ra min B = √2 (khi và chỉ khi x = 3 hoặc x = 5).
Bài tập 39:
M = x2−√2x2(x2−√2)+√3(x2−√2)=x2−√2(x2−√2)(x2+√3)=1x2+√3 (với x≠±√√2)
Vì x2+√3≥√3 với mọi x nên 1x2+√3≤1√3. Vậy max A = 1√3 khi x = 0.
DẠNG 5: Chứng minh biểu thức.
Bài tập 40:
a) Có, chẳng hạn: √12+√12=1√2+1√2=2√2=√2.
b) Không. Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương a và b mà √a+√b=√√2.
Bình phương hai vế được a+b+2√ab=√2⇒2√ab=√2−(a+b).
Lại bình phương hai vế ta có:
4ab=2+(a+b)2−2√2(a+b)⇒2√2(a+b)=2+(a+b)2−4ab
Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vô tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẫn.
Bài tập 41: Đặt x – y = a, √x+√y=b (1) thì a, b là các số hữu tỉ.
Xét hai trường hợp:
TH1: Nếu b ≠ 0 thì x−y√x+√y=ab nên √x−√y=ab là số hữu tỉ. (2)
Từ (1) và (2) ta có: √x=12(b+ab) là số hữu tỉ.
√y=12(b−ab) là số hữu tỉ.
TH2: Nếu b = 0 thì x = y = 0, hiển nhiên √x, √y là số hữu tỉ.
Bài tập 42: Xét tổng hai số:
(2a+b−2√cd)+(2c+d−2√ab)=(a+b−2√ab)+(c+d−2√cd)+a+c
=(√a−√b)2+(√c−√d)2+a+c>0.
Tồn tại một trong hai số trên là số dương.
Bài tập 43:
a) Ta có: (√a+b)2=a+b (1)
(√a+√b)2=a+b+2√ab (2)
Vì a > 0, b > 0 nên 2√ab > 0, do đó từ (1) và (2) suy ra:
(√a+b)2<(√a+√b)2 hay √a+b<√a+√b.
b) Áp dụng câu a) cho hai số dương 2017 và 2018, ta có:
√2017+2018<√2017+√2018
Bài tập 44:
√ax+√by≤√(a+b)(x+y)⇔ax+by+2√abxy≤ax+ay+bx+by
⇔ ay+bx−2√abxy≥0
⇔ (√ay−√bx)2≥0
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.
(Dấu “=” xảy ra ⇔ ay = bx ⇔ ax=by).
Bài tập 45: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số không âm a và b, b và c, a và c, ta có: a+b≥2√ab ; b+c≥2√bc ; a+c≥2√ac.
Suy ra (a+b)+(b+c)+(c+a)≥2(√ab+√bc+√ac)
Do đó a+b+c≥√ab+√bc+√ca.
Bài tập 46: √n+a+√n−a<2√n
⇔n+a+n−a+2√n2−a2<4n⇔√n2−a2<n
⇔n2−a2<n2⇔a2>0
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.
Áp dụng với n = 100; a = 1 ta được
√101+√99<2√100=20√101−√99=(√101−√99)(√101+√99)√101+√99=2√101−√99>220=0,1
Bài tập 47: Giả sử tồn tại A, B ∈ Z để có đẳng thức:
99999+11111√3=(A+B√3)2
Suy ra: 99999+11111√3=A2+3B2+2AB√3
Do đó: √3=−99999+A2+3B211111−2AB là số hữu tỉ, vô lý.
Bài tập 48:
Ta có: A + B = a√a+b√b+2√ab
=(√a+√b)[(√a+√b)2−3√ab]+2√ab
A . B = √ab(√ab+1)+√ab(√a+√b)[(√a+√b)2−3√ab]
Đặt √a+√b=p, √ab=q (p, q ∈ Q) thì:
A + B = p(p2 – 3q) + 2q
A . B = q(q + 1) + pq(p2 – 3q)
là các số hữu tỉ.
Bài tập 49: (Hs tự chứng minh).
Bài tập 50:
2(√n+1−√n)=2(√n+1−√n)(√n+1+√n)√n+1+√n=2√n+1+√n<22√n=1√n (1)
2(√n−√n−1)=2(√n−√n−1)(√n+√n−1)√n+√n−1=2√n+√n−1>22√n=1√n (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
S=1+1√2+1√3+…+1√100
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được:
S>1+2[(√3−√2)+(√4−√3)+(√5−√4)+…+(√101−√100)]
S>1+2[√101−√2]>1+2(10−1,5)=18.
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:
S<1+2[(√2−√1)+(√3−√2)+(√4−√3)+…+(√100−√99)]
S<1+2[√100−√1]=1+2(10−1)=19.
Vậy 18 < S < 19.
Bài tập 51:
12√n+1=1√n+1+√n+1<1√n+1+√n=ˊ √n+1−√n(√n+1+√n)(√n+1−√n)=√n+1−√n
Suy ra 1√n+1<2(√n+1−√n)
Cho n lần lượt lấy các giá trị từ 0 đến 2499 ta được:
1<2
1√2<2(√2−1)
1√3<2(√3−√2)
………………
1√2500<2(√2500−√2499)
Vậy 1+1√2+1√3+1√2500<2(1+√2−1+√3−√2+…+√2500−√2499)
= 2.√2500=100.
Bài tập 52:
Ta có: 1+x2=xy+yz+xz+x2=x(x+y)+z(x+y)=(x+y)(x+z)
Tương tự: 1+y2=(y+x)(y+z); 1+z2=(z+x)(z+y).
Vậy S = x√(y+z)2+y√(z+x)2+z√(x+y)2
= 2(xy + yz + zx) = 2.1 = 2.
Bài tập 53: Đặt a – b = x, b – c = y, c – a = z, ta có:
1(a−b)2+1(b−c)2+1(c−a)2=1x2+1y2+1z2=(1x+1y+1z)2−2(1xy+1yz+1xz)
= (1x+1y+1z)2−2(x+y+z)xyz=(1x+1y+1z)2
(vì x + y + z = a – b + b – c + c – a = 0).
Vậy A = √(1x+1y+1z)2=|1x+1y+1z|=|1a−b+1b−c+1c−a| là số hữu tỉ.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.
Bài tập 54:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với các số dương x, y, z ta được:
x+y≥2√xy; | y+z≥2√yz; | z+x≥2√zx |
Suy ra: 2(x+y+z)≥2(√xy+√yz+√zx)
hay x+y+z≥√xy+√yz+√zx (dấu “=” xảy ra ⇔ x= y = z).
Bài tập 55: ĐKXĐ: –3 ≤ x ≤ 5
A2=x+3+5−x+2√(x+3)(5−x)
A2≤8+(x+3+5−x) (bất đẳng thức Cô-si)
A2≤16 (dấu “=” xảy ra ⇔ x + 3 = 5 – x Û x = 1)
Vậy |A| ≤ 4 mà A > 0 nên A ≤ 4 (dấu “=” xảy ra Û x = 1).
Bài tập 56:
B = x3y+1+y3x+1=(x4+y4)+(x3+y3)xy+x+y+1
= (x4+y4)+(x+y)(x2+y2−xy)x+y+2=(x4+y4)+(x+y)(x2+y2−1)x+y+2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với các số dương x2, y2, x4, y4 ta được:
B≥2x2y2+(x+y)(2xy−1)x+y+2=2+(x+y)x+y+2=1
(Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 1)
Bài tập 57:
1x+1=2−1y+1−1z−1=(1−1y+1)+(1−1z+1)
= yy+1+zz+1≥2√yz(y+1)(z+1) (bất đẳng thức Cô-si)
Tương tự, 1y+1≥2√xz(x+1)(z+1) ; 1z+1≥2√xy(x+1)(y+1)
Suy ra 1x+1.1y+1.1z+1≥8xyz(x+1)(y+1)(z+1)
Do đó xyz≤18 (dấu “=” xảy ra Û xx+1=yy+1=zz+1⇔x=y=z).
Bài tập 58:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với các số dương x4, y4, z4 và x2, y2, z2 ta được:
x4+y4+z4=x4+y42+y4+z42+x4+z42≥x2y2+y2z2+x2z2
= x2y2+y2z22+y2z2+x2z22+x2y2+x2z22≥y2xz+z2xy+x2zy
= xyz(x + y + z) = 3xyz.
Vậy x4 + y4 + z4 ≥ 3xyz (dấu “=” xảy ra Û x = y = z = 1).
Do đó x = 1; y = 1; z = 1.
Bài tập 59:
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ hai số (1; 2) và (√x;√y) ta được:
(1.√x+2.√y)2≤(12+22)(x+y)
102≤5(x+y)
x + y ≥ 20
(Dấu “=” xảy ra ⇔√x1=√y2⇔x=4;y=16).
Bài tập 60:
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ ba số (1; 1; 1) và (√x+y;√y+z;√z+x) ta được:
A2=(1.√x+y+1.√y+z+1.√z+x)2
≤(12+12+12)(x+y+y+z+z+x)
A2≤6(x+y+z)=6
|A|≤√6
Vì A > 0 nên A≤√6 (Dấu “=” xảy ra Û x + y = y + z = z + x ⇔ x = y = z = 13).
Tải bản PDF đầy đủ TẠI ĐÂY