WebToan.Com là thư viện mở ngành Toán học NÊN sao chép, chia sẻ, KHÔNG NÊN thương mại hoá.

Đại số 9 – Chuyên đề 2 – Nhân, chia căn thức bậc hai (tiếp)

Các dạng toán thường gặp trong Nhân, chia căn thức bậc hai

Các em tải bản PDF ở cuối bài để dễ dàng ôn tập và in ra học tập tốt hơn

Bộ tài liệu gồm những bài kiểm tra, đề thi được tổng hợp ở nhiều nguồn

 

C – Hướng dẫn – trả lời – đáp số

DẠNG 1: Thực hiện phép tính.

Bài tập 1: Tính:

a) A = (3+5+23)(35+23)=32(5+23)2

= 9523=423=(31)2=31.

b) B = 4+4.2.(2+2+2)(22+2)=4+22.22(2+2)2

= 2(2+2).22=2(2+2)(22)=2.2=2.

Bài tập 2: Thực hiện phép tính:

a) 36+39.5492.5=6+95365=6275;

b) 36.7100.7+144.764.7=7.(36100+14464)

= 7.(610+128)=0;

c) 240122533203=2803253653

= 853253653=53(826)=0.

Bài tập 3: Thực hiện phép tính:

a)       25; b)       175; c)       0.

Bài tập 4:

Ta có: 35+53=35+53=815.

Vậy M = 15(815)28.815.15+16=8282+16=16=4.

Bài tập 5: Tính:

a) 9999911111=9=3.

b) 84237247=(84+37)(8437)47=121.4747=121=11.

c) 5(382172)8(472192)=5(38+17)(3817)8(47+19)(4719)=5.55.218.66.28=2564=58.

d) 0,2.1,21.0,37,5.3,2.0,64=2.121.375.32.64=12125600=11160.

Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:

a) (27+23)(2723)=50.4=2.52.22=102;

b) (37+35)(3735)=72.2=144=12;

c) (65+63)(6563)=128.2=256=16;

d) (117+108)(117108)=225.9=15.3=45.

Bài tập 7: Tích của hai số là: 19+72.1972=1974=3.

Bài tập 8: Tính A biết:

a) A = (76)2; A=76;

b) A = (35+1)2; A=35+1;

c) 2A = 24615=(153)2; A=1532.

Bài tập 9: Tính:

a) 6+25262522=(5+1)22(51)222

= 5+15+122=22=0;

b) Biến đổi tương tự câu a). Đáp số: 72;

c) Biến đổi tương tự câu a). Đáp số: 46.

Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:

a) Viết 4+15 thành 4+15.4+15 ta được:

4+15.4+15.415.(106)

4+15.1.2.(53)

= 8+215.(53)=(5+3)(53)=2.

b) Đáp số: 8.

c) Đặt 5+2+525+1 = m, 322 = n.

Tính m2 ta được m2 = 2 nên m = 2. Tính n ta được 21. Đáp số: 1.

Bài tập 11:

M = (2x+1)2x.x.|2x2x1|=2x+1x.|2x2x1|.

x = (106).4+15=2.(53).4+15

= (53).8+215=(53)(5+3)=2.

Vậy M = 2.2+12.|2.2221|=52.|5|=12.

Bài tập 12: Tính:

a)

Q = 35.3+5.(35+3+5)

32(5)2.(35+3+5)

= 2.(35+3+5)=2.2.(35+3+5)

= 2.(35.2+3+5.2)=2.(625+6+25)

= 2.((51)2+(5+1)2)=2.(51+5+1)=210;

b) R = 2+3.2+2+3.(2+2+2+3).(22+2+3)

= 2+3.2+2+3.4(2+2+3)

= 2+3.2+2+3.22+3

= 2+3.(2+2+3).(22+3)=2+3.4(2+3)

= 2+3.23=43=1=1.

Bài tập 13: So sánh:

a) Ta có: (3+5)2=9+5+65=14+36.5=14+180,

(22+6)2=8+6+412=14+16.12=14+192.

Vì 180 < 192 nên 14+180 < 14+192 hay 3+5 < 22+6.

b) Tương tự câu a): 23+4 > 32+10.

c) Cách 1: Ta có: 182 = 324,

(15.17)2=255.

Vì 324 > 255 nên 182 > (15.17)2 hay 18 > 15.17.

Cách 2: Ta có: 15.17=161.16+1

= (161).(16+1)=1621<162=16<18.

Bài tập 14*:

  1. 9972 = 9972 – 32 + 32 = (997 – 3)(997 + 3) + 32 = 994.1000 + 9 = 994009.
  2. A=(A)216+16=(A4)(A+4)+16

= 999100chuso92.1000101chuso0+16=999100chuso9200099chuso016

Tổng các chữ số của A bằng: 900 + 2 + 1 + 6 = 909.

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức

Bài tập 15:

  • Cách 1:

Có:    4+7=8+272=(7+12)2;          47=8272=(712)2

Do đó: M = (7+12)2(712)2=7+12712=22=2.

  • Cách 2:

Dễ thấy M > 0.

M2 = (4+747)2=4+7+472(4+7)(47)

= 829=2.

Suy ra M = 2. (Vì M > 0).

  • Cách 3:

* Nhận xét: Với A = 4, B = 7 thì A2 – B = 16 – 7 = 9 là một số chính phương nên ta nghĩ đến việc sử dụng công thức “căn phức tạp”.

A±B=A+A2B2±AA2B2

* Trình bày lời giải:

M = 4+747

= (4+4272+44272)(4+427244272)

= 72+1272+12=2.12=2.

Bài tập 16: Rút gọn biểu thức:

a)       101; b)       72;
c)       (3+1)(31)=2; d)       (52)(5+2)=4;
e)       2; f)        3;
g)       7+43=2+3;28103=53. Đáp số: 5.
h)       5+1; i)        (735)(7+35)=65.

Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:

a) A = 2.3+2.723+4.7=2.(3+7)2.(3+7)=22;

b) B = 95+935+3=9.(5+3)5+3=9;

c) C = (2+3+4)+2.(2+3+4)2+3+4=(1+2).(2+3+4)2+3+4

= 1+2.

d) D = 3.222.23+253.322.33+35=2.(3223+5)3.(3223+5)=23.

Bài tập 18: Tính M2 = 2. Đáp số: 2. (Xem lại cách 2 bài tập 15)

Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức:

a) A = 6+22.3(3+1)=6+22.23=6+2423

= 6+2(31)=4+23=1+3;

b) B = 1;

c) C = 8.

Bài tập 20: Rút gọn biểu thức:

ĐKXĐ: {2x10x2x1x12

* Cách 1:

A2=2x+22x12x22x1

= 2x1+22x1+12x122x1+1

= (2x1+1)2(2x11)2

= 2x1+1|2x11|

TH1: Nếu 12x<1 thì A2=2x1+1(12x1)=22x1.

Do đó: A = 22x12=4x2

TH2: Nếu x ≥ 1 thì A2=2x1+1(2x11)=2

Do đó: A = 2.

* Cách 2:

Đặt 2x1 = y ≥ 0, ta có 2x – 1 = y2.

A = 2x+22x122x22x12=y2+2y+12y22y+12=y+12|y1|2

TH1: Với 0 ≤ y < 1 (tức là 12x<1) thì: A = 12(y+1+y1)=2y2=y2=4x2

TH2: Với y ≥ 1 (tức là x ≥ 1) thì: A = 12(y+1y+1)=2

* Cách 3: Xét A2 ta có:

A2 = (x+2x1)+(x2x1)2((x+2x1)(x2x1))

= 2x2x22x+1=2x2|x1|.

TH1: Với 12x<1 thì A2 = 2x – 2(1 – x) = 4x – 2, do đó A = 4x2.

TH2: Với x ≥ 1 thì A2 = 2, do đó A = 2 (chú ý rằng A ≥ 0).

Bài tập 21: Rút gọn biểu thức:

ĐKXĐ: {x10x2x1x1

P = (x1+1)2+(x11)2=x1+1+|x11|

TH1: Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì P = x1+1+1x1=2

TH2: Nếu x > 2 thì P = 2x1.

Bài tập 22: Nếu 2 ≤ x < 4 thì A = 22. Nếu x ≥ 4 thì A = 2x2.

Bài tập 23:

a) A = (x6)2|5x|x236x5.

Do x < 5 nên 5 – x = 5 – x. Ta có:

A = (x6)25xx236x5=x212x+36+x2365x=2x212x5x.

Tại x = 4 thì A = 2.4212.454=16

b) Với x ≥ 0 thì x3+5x2x+5 có nghĩa. Giá trị của biểu thức B xác định. Ta có:

B = 5x125+x2.x+5x+5=5x125+|x|=6x55 (vì x ≥ 0).

Tại x = 5 thì B = 6.555=5.

Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:

a) ĐK: x±y. A = 2x2y2.3.|x+y|2=23|x+y|2(xy)(x+y)=3|x+y|(xy)(x+y)

TH1: Nếu x > – y thì x + y > 0, ta có A = 3(x+y)(xy)(x+y)=3xy

TH1: Nếu x < – y thì x + y < 0, ta có A = 3(x+y)(xy)(x+y)=3xy

b) ĐK: a12. B = a25.|12a|2a1

TH1: Nếu a<12 thì 1 – 2a > 0, ta có B = a25.

TH1: Nếu a>12 thì 1 – 2a < 0, ta có B = a25.

Bài tập 25:

Đặt A = a+1+a+3 > 0;

B = 2a+2 > 0.

Ta có: A2=2a+4+2(a+1)(a+3)

A2=2(a+2)+2(a+21)(a+2+1)

A2=2(a+2)+2(a+2)21

A2<2(a+2)+2(a+2)2=4(a+2) (vì a > 0)

B = 4(a + 2).

Suy ra A2 < B2 ⇔ A < B (vì A > 0; B > 0).

Bài tập 26: Rút gọn biểu thức:

ĐKXĐ: –1 ≤ x ≤ 1.

Áp dụng công thức “căn phức tạp” ta tính được:

1+1x2=1+11+x22+111+x22

= 1+|x|2+1|x|2

= {12(1+x+1x),n˜Oux012(1x+1+x),n˜Oux<0

Cả hai trường hợp đều có cùng một kết quả.

(1+x)3(1x)3=(1+x1x)[(1+x)+1x2+(1x)]

= (1+x1x)(2+1x2).

Vậy M = 12(1+x+1x)(1+x1x)(2+1x2)2+1x2

M = 12[(1+x)(1x)]=2x.

Bài tập 27:

a) A = (x2+3)2x2+(x2)2=x2+3|x|+|x2|

TH1: Nếu x < 0 thì A = x23x+2x=x23+2xx2x=2x2+2x3x

TH2: Nếu 0 < x ≤ 2 thì A = x2+3x+2x=x2+3+2xx2x=2x+3x

TH3: Nếu x > 2 thì A = x2+3x+x2=x2+3+x22xx=2x22x+3x

b) Với x ∈ Z thì |x – 2| Î Z, do đó để A Î Z thì x2+3|x| hay 3|x|. Suy ra x = ±1; x = ±3.

Bài tập 28:

a) ĐK: {x22x0x±x22x{x(x2)0x2x22x[x2x<0.

b) A = 2x22x với điều kiện trên.

c) Giải A < 2 ta được: x22x<1x22x<1(x1)2<2

2<x1<212<x<1+2.

Kết hợp với điều kiện nêu ở câu a), các giá trị phải tìm của x là:

12<x<02x<1+2.

Bài tập 29:

a) Đặt x = 2+3. Ta có x2=7+43x2=7+4(x2)x2=4x1.

Phương trình x24x+1=0 nhận 2+3 là một nghiệm.

b) Phương trình x212x+4=0 nhận 642 là một nghiệm.

Chú ý: Phương trình x24x+1=0 còn có nghiệm là 23.

Phương trình x212x+4=0 còn có nghiệm là 6+42.

Bài tập 30*:

a) A2 = 1+1a2+1(a+1)2=a2(a+1)2+(a+1)2+a2a2(a+1)2

= a2(a2+2a+1+1)+(a+1)2a2(a+1)2=a4+2a2(a+1)+(a+1)2a2(a+1)2=

= (a2+a+1)2a2(a+1)2=[a2+a+1a(a+1)]2.

Do a > 0 nên A > 0 và A = a2+a+1a(a+1).

b) Từ câu a) suy ra: 1+1a2+1(a+1)2=a2+a+1a(a+1)=1+1a(a+1)=1+1a1a+1

Do đó: B = (1+1112)+(1+1213)+(1+1314)++(1+1991100)

= 99 + (1112+1213+1314++1991100)=1001100=99,99

DẠNG 3: Giải phương trình

Bài tập 31: Giải phương trình:

a) Điều kiện xác định của phương trình là: x12

5x2=2x+1

Suy ra 5x2=(2x+1)2

5x2=4x2+4x+1

x24x1=0

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

👉To Confessions đến các em học sinh và giáo viên được tốt nhất. Mọi người vui lòng nhập mật khẩu vào ô bên trên

🔎Nhận mật khẩu bằng cách xem hướng dẫn từ video này

‼️‼️‼️ Hướng dẫn lấy mật khẩu (làm theo video bên dưới)

🔜Sau khi lấy được Mã, quay lại điền vào ô Nhập Mật khẩu ở trên

cuốn đức củacuonsg

(x24x+4)5=0

(x2)2(5)2=0

(x2+5)(x25)=0

[x2+5=0x25=0[x=25x=2+5

Vì x = 25 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2+5.

b) Điều kiện xác định của phương trình là: {2x30x1>0{x1,5x>1x1,5

Khi đó phương trình được đưa về dạng:

2x3x1=2

Suy ra: 2x3x1=22

Hay      2x – 3 = 4(x – 1)

2x=1x=0,5 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 1,5.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập 32: Giải phương trình:

a) Điều kiện xác định của phương trình là x13

Biến đổi phương trình về dạng:

3x+1=(3x1)2

9x(x1)=0[x=0x=1

Phương trình đã cho có nghiệm x = 1.

b) Điều kiện xác định của phương trình là: {3x50x+10{x53x1x53

Phương trình được đưa về dạng;

2+3x5=x+13x5=x13x5=x22x+1x25x+6=0

(x3)(x2)=0[x3=0x2=0[x=3x=2, thỏa mãn điều kiện xác định.

Phương trình đã cho có nghiệm x = 2, x = 3.

c) Điều kiện xác định của phương trình là:

{5x+70x+3>0{x75x>3x75

hoặc {5x+70x+3<0{x75x<3x<3

Phương tình được đưa về dạng: 5x+7x+3=42

Giải phương trình này được x=4111 thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=4111.

d) Điều kiện xác định của phương trình là:

{5x+70x+3>0{x75x>3x75

Khi đó phương tình đưa về dạng: 5x+7x+3=4.

Theo câu c), ta có x=4111, nhưng không thỏa mãn điều kiện x75. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập 33: ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 1.

(x2)2+(y13)2=0;

Đáp số: x = 4; y = 10.

Bài tập 34: ĐKXĐ: x ≥ a; y ≥ b; z ≥ c.

xa+yb+zc=12(x+y+z)x+y+z=2(xa+yb+zc)x+y+z2xa2yb2zc=0x+y+z(a+b+c)2xa2yb2zc+3=0(xa2xa+1)+(yb2yb+1)+(zc2zc+1)=0(xa1)2+(yb1)2+(zc1)2=0

Đáp số: x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1.

Bài tập 35: ĐKXĐ: x ≥ 1.

(x12)2+(x1+3)2=5|x12|+x1+3=5|x12|=2x12x10x12x5

Kết hợp với ĐKXĐ ta được 1x5.

Bài tập 36: (x2)(x3)+x+1=x2+(x+1)(x3)

ĐKXĐ: x ≥ 3.

(x2)(x3)+x+1=x2+(x+1)(x3)(x2)(x3)(x+1)(x3)=x2x+1x3(x2x+1)(x2x+1)=0(x31)(x2x+1)=0x=4

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài tập 37: ĐKXĐ: 5 ≤ x ≤ 13

* Cách thứ nhất: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: a+b2ab

P2 = x5+13x+2(x5)(13x)

P2 ≤ 8 + [(x – 5) + (13 – x)] = 16. (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 5 = 13 – x ⇔ x = 9).

Suy ra max P2 = 16, do đó max P = 4 (khi và chỉ khi x = 9).

* Cách thứ hai: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki:

(a1b1+a2b2)2(a21+a22)(b21+b22)

Với a1 = a2 = 1; b1 = x5; b2 = 13x.

P2 = (1.x5+1.13x)2(12+12)[(x5)2+(13x)2]

hay P2 ≤ 2 . 8 = 16 (dấu “=” xảy ra ⇔ x51=13x1x=9).

Suy ra max P2 = 16, do đó max P = 4 (khi và chỉ khi x = 9).

Bài tập 38:

a) Áp dụng bất đẳng thức abab (với a ≥ b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 3.)

A = x+1x8(x+1)(x8)=9=3 (dấu “=” xảy ra ⇔ x = 8)

Suy ra max A = 3 (khi và chỉ khi x = 8).

b) Áp dụng bất đẳng thức a+ba+b (với a, b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 2.)

B = x3+5xx3+5x=2 (dấu “=” xảy ra ⇔ x = 3 hoặc x = 5)

Suy ra min B = 2 (khi và chỉ khi x = 3 hoặc x = 5).

Bài tập 39:

M = x22x2(x22)+3(x22)=x22(x22)(x2+3)=1x2+3 (với x±2)

x2+33 với mọi x nên 1x2+313. Vậy max A = 13 khi x = 0.

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức.

Bài tập 40:

a) Có, chẳng hạn: 12+12=12+12=22=2.

b) Không. Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương a và b mà a+b=2.

Bình phương hai vế được a+b+2ab=22ab=2(a+b).

Lại bình phương hai vế ta có:

4ab=2+(a+b)222(a+b)22(a+b)=2+(a+b)24ab

Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vô tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẫn.

Bài tập 41: Đặt x – y = a, x+y=b (1) thì a, b là các số hữu tỉ.

Xét hai trường hợp:

TH1: Nếu b ≠ 0 thì xyx+y=ab nên xy=ab là số hữu tỉ. (2)

Từ (1) và (2) ta có: x=12(b+ab) là số hữu tỉ.

y=12(bab) là số hữu tỉ.

TH2: Nếu b = 0 thì x = y = 0, hiển nhiên x, y là số hữu tỉ.

Bài tập 42: Xét tổng hai số:

(2a+b2cd)+(2c+d2ab)=(a+b2ab)+(c+d2cd)+a+c

=(ab)2+(cd)2+a+c>0.

Tồn tại một trong hai số trên là số dương.

Bài tập 43: 

a) Ta có: (a+b)2=a+b (1)

(a+b)2=a+b+2ab  (2)

Vì a > 0, b > 0 nên 2ab > 0, do đó từ (1) và (2) suy ra:

(a+b)2<(a+b)2 hay a+b<a+b.

b) Áp dụng câu a) cho hai số dương 2017 và 2018, ta có:

2017+2018<2017+2018

Bài tập 44:

ax+by(a+b)(x+y)ax+by+2abxyax+ay+bx+by

ay+bx2abxy0

(aybx)20

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.

(Dấu “=” xảy ra ⇔ ay = bx ⇔ ax=by).

Bài tập 45: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số không âm a và b, b và c, a và c, ta có: a+b2ab ; b+c2bc ; a+c2ac.

Suy ra (a+b)+(b+c)+(c+a)2(ab+bc+ac)

Do đó a+b+cab+bc+ca.

Bài tập 46: n+a+na<2n

n+a+na+2n2a2<4nn2a2<n

n2a2<n2a2>0

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.

Áp dụng với n = 100; a = 1 ta được

101+99<2100=2010199=(10199)(101+99)101+99=210199>220=0,1

Bài tập 47: Giả sử tồn tại A, B ∈ Z để có đẳng thức:

99999+111113=(A+B3)2

Suy ra: 99999+111113=A2+3B2+2AB3

Do đó: 3=99999+A2+3B2111112AB là số hữu tỉ, vô lý.

Bài tập 48:

Ta có: A + B = aa+bb+2ab

=(a+b)[(a+b)23ab]+2ab

A . B = ab(ab+1)+ab(a+b)[(a+b)23ab]

Đặt a+b=p, ab=q (p, q ∈ Q) thì:

A + B = p(p2 – 3q) + 2q

A . B = q(q + 1) + pq(p2 – 3q)

là các số hữu tỉ.

Bài tập 49: (Hs tự chứng minh).

Bài tập 50:

2(n+1n)=2(n+1n)(n+1+n)n+1+n=2n+1+n<22n=1n          (1)

2(nn1)=2(nn1)(n+n1)n+n1=2n+n1>22n=1n          (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

S=1+12+13++1100

Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được:

S>1+2[(32)+(43)+(54)++(101100)]

S>1+2[1012]>1+2(101,5)=18.

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:

S<1+2[(21)+(32)+(43)++(10099)]

S<1+2[1001]=1+2(101)=19.

Vậy 18 < S < 19.

Bài tập 51:

12n+1=1n+1+n+1<1n+1+n=ˊ n+1n(n+1+n)(n+1n)=n+1n

Suy ra 1n+1<2(n+1n)

Cho n lần lượt lấy các giá trị từ 0 đến 2499 ta được:

1<2

12<2(21)

13<2(32)

………………

12500<2(25002499)

Vậy 1+12+13+12500<2(1+21+32++25002499)

= 2.2500=100.

Bài tập 52:

Ta có: 1+x2=xy+yz+xz+x2=x(x+y)+z(x+y)=(x+y)(x+z)

Tương tự: 1+y2=(y+x)(y+z); 1+z2=(z+x)(z+y).

Vậy S = x(y+z)2+y(z+x)2+z(x+y)2

= 2(xy + yz + zx) = 2.1 = 2.

Bài tập 53: Đặt a – b = x, b – c = y, c – a = z, ta có:

1(ab)2+1(bc)2+1(ca)2=1x2+1y2+1z2=(1x+1y+1z)22(1xy+1yz+1xz)

= (1x+1y+1z)22(x+y+z)xyz=(1x+1y+1z)2

(vì x + y + z = a – b + b – c + c – a = 0).

Vậy A = (1x+1y+1z)2=|1x+1y+1z|=|1ab+1bc+1ca| là số hữu tỉ.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.

Bài tập 54:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với các số dương x, y, z ta được:

x+y2xy; y+z2yz; z+x2zx

Suy ra:                  2(x+y+z)2(xy+yz+zx)

hay              x+y+zxy+yz+zx (dấu “=” xảy ra ⇔ x= y = z).

Bài tập 55: ĐKXĐ: –3 ≤ x ≤ 5

A2=x+3+5x+2(x+3)(5x)

A28+(x+3+5x) (bất đẳng thức Cô-si)

A216 (dấu “=” xảy ra ⇔ x + 3 = 5 – x Û x = 1)

Vậy |A| ≤ 4 mà A > 0 nên A ≤  4 (dấu “=” xảy ra Û x = 1).

Bài tập 56:

B = x3y+1+y3x+1=(x4+y4)+(x3+y3)xy+x+y+1

= (x4+y4)+(x+y)(x2+y2xy)x+y+2=(x4+y4)+(x+y)(x2+y21)x+y+2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với các số dương x2, y2, x4, y4 ta được:

B2x2y2+(x+y)(2xy1)x+y+2=2+(x+y)x+y+2=1

(Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 1)

Bài tập 57:

1x+1=21y+11z1=(11y+1)+(11z+1)

= yy+1+zz+12yz(y+1)(z+1) (bất đẳng thức Cô-si)

Tương tự, 1y+12xz(x+1)(z+1) ; 1z+12xy(x+1)(y+1)

Suy ra      1x+1.1y+1.1z+18xyz(x+1)(y+1)(z+1)

Do đó xyz18 (dấu “=” xảy ra Û xx+1=yy+1=zz+1x=y=z).

Bài tập 58:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với các số dương x4, y4, z4 và x2, y2, z2 ta được:

x4+y4+z4=x4+y42+y4+z42+x4+z42x2y2+y2z2+x2z2

= x2y2+y2z22+y2z2+x2z22+x2y2+x2z22y2xz+z2xy+x2zy

= xyz(x + y + z) = 3xyz.

Vậy x4 + y4 + z4 ≥ 3xyz (dấu “=” xảy ra Û x = y = z = 1).

Do đó x = 1; y = 1; z = 1.

Bài tập 59:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ hai số (1; 2) và (x;y) ta được:

(1.x+2.y)2(12+22)(x+y)

1025(x+y)

x + y ≥ 20

(Dấu “=” xảy ra x1=y2x=4;y=16).

Bài tập 60:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ ba số (1; 1; 1) và (x+y;y+z;z+x) ta được:

A2=(1.x+y+1.y+z+1.z+x)2

(12+12+12)(x+y+y+z+z+x)

A26(x+y+z)=6

|A|6

Vì A > 0 nên A6 (Dấu “=” xảy ra Û x + y = y + z = z + x ⇔ x = y = z = 13).

 

Tải bản PDF đầy đủ          TẠI ĐÂY       

★★★ Danh sách các tài liệu, đề thi HOT ★★★

✔️ 240+ Đề thi toán lớp 9

✔️ 10+ Đề thi học sinh giỏi quốc gia

Bình luận
0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Notify of
guest


0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
Bình luận fb
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x