Đại số 9 – Chuyên đề 3 – Biến đổi & rút gọn căn thức bậc hai

Danh mục: Chuyên đề Toán 9 , Đại số 9 , Toán 9

A – LÝ THUYẾT

I . Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai:

· Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:	$\displaystyle \sqrt{{{{A}^{2}}B}}=\left\| A \right\|\sqrt{B}$ (B ≥ 0)
· Đưa thừa số vào trong dấu căn:	$\displaystyle A\sqrt{B}=\sqrt{{{{A}^{2}}B}}$ (với A ≥ 0 và B ≥ 0)
	$\displaystyle A\sqrt{B}=-\sqrt{{{{A}^{2}}B}}$ (với A < 0 và B ≥ 0)
· Khử mẫu của biểu thức lấy căn:	$\displaystyle \sqrt{{\frac{{AB}}{{{{B}^{2}}}}}}=\frac{{\sqrt{{AB}}}}{{\left\| B \right\|}}$ (với AB ≥ 0, B ≠ 0)
· Trục căn thức ở mẫu:	$\displaystyle \frac{M}{{\sqrt{A}}}=\frac{{M\sqrt{A}}}{A}$ (A > 0)
	$\displaystyle \frac{M}{{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}}=\frac{{M\left( {\sqrt{A}\mp \sqrt{B}} \right)}}{{A-B}}$ (A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B)

II . Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai:

Bước 1: Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc hai đơn giản.
Bước 2: Thực hiện phép tính theo thứ tự đã biết.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Tính giá trị của biểu thức

Bài tập 1: Tính:

a) $\displaystyle \frac{3}{{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}-\frac{4}{{3-\sqrt{5}}}$ ;	b) $\displaystyle \frac{{\sqrt{5}-2}}{{5+2\sqrt{5}}}-\frac{1}{{2+\sqrt{5}}}+\frac{1}{{\sqrt{5}}}$ ;
c) $\displaystyle \frac{1}{{2+\sqrt{3}}}+\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{6}}}-\frac{2}{{3+\sqrt{3}}}$ ;	d) $\displaystyle \frac{{2\sqrt{3}-4}}{{\sqrt{3}-1}}+\frac{{2\sqrt{2}-1}}{{\sqrt{2}-1}}-\frac{{1+\sqrt{6}}}{{\sqrt{2}+3}}$ .

Bài tập 2: Tính:

a) A = $\displaystyle \sqrt{{\sqrt{5}-\sqrt{{3-\sqrt{{29-6\sqrt{{20}}}}}}}}$ ;

b) B = $\displaystyle \sqrt{{6+2\sqrt{{5-\sqrt{{13+\sqrt{{48}}}}}}}}$ ;

c) C = $\displaystyle \sqrt{{4+\sqrt{{5\sqrt{3}+5\sqrt{{48-10\sqrt{{7+4\sqrt{3}}}}}}}}}$ .

Bài tập 3: Thực hiện phép tính: B = $\displaystyle \frac{{\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}{2}:\left( {\frac{{\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}{2}-\frac{2}{{\sqrt{6}}}+\frac{{\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}{{2\sqrt{3}}}} \right)$ .

Bài tập 4: Thực hiện phép tính: A = $\displaystyle \left( {\sqrt{{\frac{{1+a}}{{1-a}}}}+\sqrt{{\frac{{1-a}}{{1+a}}}}} \right):\left( {\sqrt{{\frac{{1+a}}{{1-a}}}}-\sqrt{{\frac{{1-a}}{{1+a}}}}} \right)$ .

Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức: M = $\displaystyle \frac{{(x+1)\sqrt{3}}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}-x+1}}}}$ với $\displaystyle x=2+\sqrt{3}$ .

Bài tập 6: Cho $\displaystyle a=\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$ , $\displaystyle b=\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$ . Tính $\displaystyle {{a}^{7}}+{{b}^{7}}$ .

Bài tập 7: Cho biết: $\displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+13}}-\sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}=1$ .

Tính: $\displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+13}}+\sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}$ .

Bài tập 8: Cho biểu thức $\displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+19}}-\sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}=3$ .

Tính giá trị của biểu thức: M = $\displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+19}}+\sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}$ .

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức.

Bài tập 9: Trục căn thức ở mẫu: $\displaystyle \frac{{16-{{a}^{2}}}}{{2-\sqrt{a}}}$

Bài tập 10: Rút gọn biểu thức: A = $\displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{{3-\sqrt{{29-12\sqrt{5}}}}}$ .

Bài tập 11: Rút gọn các biểu thức:

a) $\displaystyle \sqrt{{200}}-\sqrt{{32}}+\sqrt{{72}}$ ;	b) $\displaystyle \sqrt{{175}}-\sqrt{{112}}+\sqrt{{63}}$ ;
c) $\displaystyle 4\sqrt{{20}}-3\sqrt{{125}}+5\sqrt{{45}}-15\sqrt{{\frac{1}{5}}}$ ;	d) $\displaystyle \left( {2\sqrt{8}+3\sqrt{5}-7\sqrt{2}} \right)\left( {\sqrt{{72}}-5\sqrt{{20}}-2\sqrt{2}} \right)$ .

Bài tập 12: Rút gọn các biểu thức:

a) $\displaystyle 2\sqrt{{8\sqrt{3}}}-2\sqrt{{5\sqrt{3}}}-3\sqrt{{20\sqrt{3}}}$ ;

b) $\displaystyle \sqrt{{343a}}+\sqrt{{63a}}-\sqrt{{28a}}$ với a ≥ 0;

c) $\displaystyle -\sqrt{{36b}}-\frac{1}{3}\sqrt{{54b}}+\frac{1}{5}\sqrt{{150b}}$ với b ≥ 0.

Bài tập 13: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu có thể):

a) $\displaystyle \frac{{\sqrt{6}+\sqrt{{14}}}}{{2\sqrt{3}-\sqrt{7}}}$ ;	b) $\displaystyle \frac{{3+4\sqrt{3}}}{{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{5}}}$ ;
c) $\displaystyle \frac{{5\sqrt{5}+3\sqrt{3}}}{{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$ ;	d) $\displaystyle \frac{1}{{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2}+\sqrt{{10}}}}$ .

Bài tập 14: Rút gọn biểu thức: A = $\displaystyle \frac{{2+\sqrt{3}}}{{\sqrt{2}+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}+\frac{{2-\sqrt{3}}}{{\sqrt{2}-\sqrt{{2-\sqrt{3}}}}}$ .

Bài tập 15: Rút gọn các biểu thức:

a) $\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{{7-\sqrt{{24}}}}+1}}-\frac{1}{{\sqrt{{7+\sqrt{{24}}}}-1}}$ ;	b) $\displaystyle \frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{{\sqrt{3}+1}}-1}}-\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{{\sqrt{3}+1}}+1}}$ ;
c) $\displaystyle \frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{{\sqrt{3}+1}}-1}}-\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{{\sqrt{3}+1}}+1}}$ ;	d) $\displaystyle \sqrt{{\frac{{3+\sqrt{5}}}{{3-\sqrt{5}}}}}+\sqrt{{\frac{{3-\sqrt{5}}}{{3+\sqrt{5}}}}}$ .

Bài tập 16: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $\displaystyle \frac{{\sqrt{{\frac{5}{3}}}+\sqrt{{\frac{3}{5}}}-2}}{{\sqrt{{\frac{5}{3}}}-\sqrt{{\frac{3}{5}}}}}$ ;	c) C = $\displaystyle \frac{{2{{{\left( {\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{{6\sqrt{2}}}} \right)}}^{{-1}}}+3{{{\left( {\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{{4\sqrt{3}}}} \right)}}^{{-1}}}}}{{{{{\left( {\frac{{2+\sqrt{6}}}{{12}}} \right)}}^{{-1}}}+{{{\left( {\frac{{3+\sqrt{6}}}{{12}}} \right)}}^{{-1}}}}}$ .
b) B = $\displaystyle \frac{{\left( {\sqrt{3}-\sqrt{2}} \right)\left( {\sqrt{3}+\sqrt{2}} \right)}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}+\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}}}$ ;

Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $\displaystyle \frac{{1+\sqrt{5}}}{{\sqrt{2}+\sqrt{{3+\sqrt{5}}}}}+\frac{{1-\sqrt{5}}}{{\sqrt{2}-\sqrt{{3-\sqrt{5}}}}}$ ;

b) B = $\displaystyle \left( {\frac{{1-a\sqrt{a}}}{{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}} \right){{\left( {\frac{{1-\sqrt{a}}}{{1-a}}} \right)}^{2}}$ ;

c) C = $\displaystyle \frac{{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}{{xy\sqrt{{xy}}}}:\left[ {\left( {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \right).\frac{1}{{x+y+2\sqrt{{xy}}}}+\frac{2}{{{{{\left( {\sqrt{x}+\sqrt{y}} \right)}}^{3}}}}.\left( {\frac{1}{{\sqrt{x}}}+\frac{1}{{\sqrt{y}}}} \right)} \right]$

với $\displaystyle x=2-\sqrt{3}$ và $\displaystyle y=2+\sqrt{3}$ .

Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: P = $\displaystyle \frac{{1-\sqrt{{x-1}}}}{{\sqrt{{x-2\sqrt{{x-1}}}}}}$ .

Bài tập 19: Rút gọn biểu thức: Q = $\displaystyle \frac{{\sqrt{{x+\sqrt{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}}}-\sqrt{{x-\sqrt{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}}}}}{{\sqrt{{2(x-y)}}}}$ với x > y > 0.

Bài tập 20: Rút gọn biểu thức:

A = $\displaystyle \left( {\frac{1}{{\sqrt{{x-1}}}}+\frac{1}{{\sqrt{{x+1}}}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt{{x-1}}}}-\frac{1}{{\sqrt{{x+1}}}}} \right)$ với $\displaystyle x=\frac{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{{2ab}}$ và b > a > 0.

Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: B = $\displaystyle \frac{{2a\sqrt{{1+{{x}^{2}}}}}}{{\sqrt{{1+{{x}^{2}}}}-x}}$ với $\displaystyle x=\frac{1}{2}\left( {\sqrt{{\frac{{1-a}}{a}}}-\sqrt{{\frac{a}{{1-a}}}}} \right)$ và 0 < a < 1.

Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: M = $\displaystyle (a+b)-\sqrt{{\frac{{({{a}^{2}}+1)({{b}^{2}}+1)}}{{{{c}^{2}}+1}}}}$

với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1.

Bài tập 23: Rút gọn biểu thức: A = $\displaystyle \frac{{\sqrt{{x+2\sqrt{{x-1}}}}+\sqrt{{x-2\sqrt{{x-1}}}}}}{{\sqrt{{x+\sqrt{{2x-1}}}}+\sqrt{{x-\sqrt{{2x-1}}}}}}.\sqrt{{2x-1}}$ .

Bài tập 24: Rút gọn biểu thức: A = $\displaystyle \sqrt{{1-a}}+\sqrt{{a(a-1)}}+a\sqrt{{\frac{{a-1}}{a}}}$ .

Bài tập 25: Rút gọn biểu thức: A = $\displaystyle \frac{{x+3+2\sqrt{{{{x}^{2}}-9}}}}{{2x-6+\sqrt{{{{x}^{2}}-9}}}}$ .

Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: B = $\displaystyle \frac{{{{x}^{2}}+5x+6+x\sqrt{{9-{{x}^{2}}}}}}{{3x-{{x}^{2}}+(x+2)\sqrt{{9-{{x}^{2}}}}}}$ .

Bài tập 27: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức tại x = 3.

M = $\displaystyle \frac{{\sqrt{{x-2\sqrt{2}}}}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}-4x\sqrt{2}+8}}}}-\frac{{\sqrt{{x+2\sqrt{2}}}}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+4x\sqrt{2}+8}}}}$ .

Bài tập 28: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{1}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{4}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{n-1}}+\sqrt{n}}}$ ;

b) B = $\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{1}-\sqrt{2}}}-\frac{1}{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}-\sqrt{4}}}-…-\frac{1}{{\sqrt{{24}}-\sqrt{{25}}}}$ .

Bài tập 29: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) A = $\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{{2c}}}}$ trong đó a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện c là trung bình nhân của hai số a và b.

b) B = $\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}}$ trong đó a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện ab = cd và a + b ≠ c + d.

DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình

Bài tập 30: Giải phương trình:

a) $\displaystyle \sqrt{{7+\sqrt{{2x}}}}=3+\sqrt{5}$ ;	b) $\displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+9}}=\sqrt{{4+2\sqrt{3}}}$ ;
c) $\displaystyle \sqrt{{3{{x}^{2}}-4x}}=2x-3$ ;	d) $\displaystyle \frac{{(7-x).\sqrt{{7-x}}+(x-5)\sqrt{{x-5}}}}{{\sqrt{{7-x}}+\sqrt{{x-5}}}}=2$ .

Bài tập 31: Giải phương trình:

a) $\displaystyle \sqrt{{4x-12}}+\sqrt{{9x-27}}-4\sqrt{{x-3}}+3-x=0$ ;

b) $\displaystyle \sqrt{{25x+75}}+3\sqrt{{x-2}}=2+4\sqrt{{x+3}}+\sqrt{{9x-18}}$ ;

c) $\displaystyle \sqrt{{49x-98}}-14\sqrt{{\frac{{x-2}}{{49}}}}=\sqrt{{9x-18}}+8$ ;

d) $\displaystyle \sqrt{{x+\sqrt{{2x-1}}}}+\sqrt{{x-\sqrt{{2x-1}}}}=\sqrt{2}$ .

Bài tập 32: Cho A = $\displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-x-\frac{1}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-x}}$ trong đó x Î $\displaystyle \mathbb{R}$ .

Xác định x để giá trị của A là một số tự nhiên.

Bài tập 33: Tìm các số tự nhiên x, y sao cho x > y > 0 thỏa mãn điều kiện:

$\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{{931}}$

Bài tập 34: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho $\displaystyle \sqrt{{n+1}}-\sqrt{n}<0,05$ .

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài tập 35: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: S = $\displaystyle \sqrt{{x-3}}+\sqrt{{y-4}}$ , biết x + y = 8.

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức

Bài tập 36: Không dùng máy tính hoặc bảng số, so sánh các số sau:

a) $\displaystyle -3\sqrt{{11}}$ và $\displaystyle -7\sqrt{2}$ ;

b) $\displaystyle \frac{7}{2}\sqrt{{\frac{1}{{12}}}}$ và $\displaystyle \frac{9}{4}\sqrt{{\frac{1}{5}}}$ ;

c) $\displaystyle \sqrt{{\frac{4}{{27}}}}$ và $\displaystyle \sqrt{{\frac{3}{{26}}}}$ .

Bài tập 37: Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng: $\displaystyle 4\sqrt{5}-3\sqrt{2}<5$ .

Bài tập 38: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

a) $\displaystyle \sqrt{{c(a-c)}}+\sqrt{{c(b-c)}}-\sqrt{{ab}}\le 0$ với a > c, b > c.

b) Nếu $\displaystyle \sqrt{{1+b}}+\sqrt{{1+c}}\ge 2\sqrt{{1+a}}$ thì b + c ≥ 2a.

Bài tập 39:

Cho biểu thức: P = $\displaystyle \frac{{\sqrt{{{{{(x+2)}}^{2}}-8x}}}}{{\sqrt{x}-\frac{2}{{\sqrt{x}}}}}$ . Chứng minh rằng: P = $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}-\sqrt{x}\,\,\,khi\,\,\,0<x<2\\\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x>2\end{array} \right.$

Bài tập 40: Chứng minh rằng: $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{{3\sqrt{2}}}+\frac{1}{{4\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{2018\sqrt{{2019}}}}<2$

Bài tập 41: Chứng minh rằng:

a) $\displaystyle \frac{1}{{1+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{99}}+\sqrt{{100}}}}=9$ ;

b) $\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{225}}}}<28$ .

Bài tập 42: Chứng minh rằng A < B với:

A = $\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{1}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{120}}+\sqrt{{121}}}}$ và B = $\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{1}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{35}}}}$ .

Bài tập 43: Chứng minh các hằng đẳng thức:

a) $\displaystyle \sqrt{{10+\sqrt{{60}}-\sqrt{{24}}-\sqrt{{40}}}}=\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}$ ;

b) $\displaystyle \sqrt{{6+\sqrt{{24}}+\sqrt{{12}}+\sqrt{8}}}-\sqrt{3}=\sqrt{2}+1$ .

Bài tập 44: Cho A = $\displaystyle \sqrt{{10+\sqrt{{24}}+\sqrt{{40}}+\sqrt{{60}}}}$ .

Hãy biểu diễn A dưới dạng tổng của ba căn thức.

Bài tập 45: Chứng minh hằng đẳng thức sau với x ≥ 2:

$\displaystyle \sqrt{{\sqrt{x}+\sqrt{{\frac{{{{x}^{2}}-4}}{x}}}}}+\sqrt{{\sqrt{x}-\sqrt{{\frac{{{{x}^{2}}-4}}{x}}}}}=\sqrt{{\frac{{2x+4}}{{\sqrt{x}}}}}$

Bài tập 46: Chứng minh rằng $\displaystyle \frac{{2\sqrt{{mn}}}}{{\sqrt{m}+\sqrt{n}+\sqrt{{m+n}}}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}-\sqrt{{m+n}}$ .

Áp dụng tính $\displaystyle \frac{{2\sqrt{{10}}}}{{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}}$ .

Bài tập 47: Chứng minh rằng $\displaystyle \frac{1}{{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{{n+1}}}}=\frac{1}{{\sqrt{n}}}-\frac{1}{{\sqrt{{n+1}}}}$ với n ∈ $\displaystyle {{\mathbb{N}}^{*}}$ .

Áp dụng tính tổng: $\displaystyle S=\frac{1}{{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}}+\frac{1}{{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{400\sqrt{{399}}+399\sqrt{{400}}}}$ .

Bài tập 48: Tính giá trị của biểu thức:

$\displaystyle M=\frac{1}{{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}}+\frac{1}{{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}}+\frac{1}{{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}}+…+\frac{1}{{25\sqrt{{24}}+24\sqrt{{25}}}}$ .

Bài tập 49: Cho a = $\displaystyle \sqrt{2}-1$ .

a) Viết a², a³ dưới dạng $\displaystyle \sqrt{m}-\sqrt{{m-1}}$ trong đó m là số tự nhiên.

b^*) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số aⁿ viết được dưới dạng trên.

Bài tập 50: Chứng minh rằng với mọi x > 0, y > 0 và x ≠ y, giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến x, y.

A = $\displaystyle \frac{{{{x}^{4}}}}{{x-y}}.\sqrt{{\frac{1}{{{{x}^{6}}}}-\frac{{2y}}{{{{x}^{7}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{x}^{8}}}}}}$ .

Bài tập 51: Cho x, y, z > 0 và khác nhau đôi một. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của các biến.

P = $\displaystyle \frac{x}{{\left( {\sqrt{x}-\sqrt{y}} \right)\left( {\sqrt{x}-\sqrt{z}} \right)}}+\frac{y}{{\left( {\sqrt{y}-\sqrt{z}} \right)\left( {\sqrt{y}-\sqrt{x}} \right)}}+\frac{z}{{\left( {\sqrt{z}-\sqrt{x}} \right)\left( {\sqrt{z}-\sqrt{y}} \right)}}$ .

Bài tập 52: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) Q = $\displaystyle \frac{1}{x}.\left( {\frac{{\sqrt{{x+1}}+\sqrt{{x-1}}}}{{\sqrt{{x+1}}-\sqrt{{x-1}}}}+\frac{{\sqrt{{x+1}}-\sqrt{{x-1}}}}{{\sqrt{{x+1}}+\sqrt{{x-1}}}}} \right)$ với x > 1.

b) R = $\displaystyle \frac{{2x}}{{x+3\sqrt{x}+2}}+\frac{{5\sqrt{x}+1}}{{x+4\sqrt{x}+3}}+\frac{{\sqrt{x}+10}}{{x+5\sqrt{x}+6}}$ với x ≥ 0.

DẠNG 6: Các bài toán tổng hợp

Bài tập 53: Cho: M = $\displaystyle \frac{{\sqrt{a}+6}}{{\sqrt{a}+1}}$ .

a) Tìm các số nguyên a để m là số nguyên;

b) Chứng minh rằng với a = $\displaystyle \frac{4}{9}$ thì M là số nguyên;

c) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.

Bài tập 54: Cho biểu thức: M = $\displaystyle \frac{{\sqrt{a}+2}}{{\sqrt{a}-2}}$ .

a) Tìm các số nguyên a để m là số nguyên.

b) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.

Bài tập 55: Cho biểu thức: C = $\displaystyle \frac{{3x+\sqrt{{9x}}-3}}{{x+\sqrt{x}-2}}-\frac{{\sqrt{x}+1}}{{\sqrt{x}+2}}+\frac{{\sqrt{x}+2}}{{1-\sqrt{x}}}$ .

a) Tìm điều kiện của x để C có nghĩa;

b) Rút gọn biểu thức C;

c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của C là một số nguyên.

Bài tập 56: Cho biểu thức: A = $\displaystyle {{x}^{2}}-3x\sqrt{y}+2y$ .

a) Phân tích A thành nhân tử;

b) Tính giá trị của A khi $\displaystyle x=\frac{1}{{\sqrt{5}-2}}$ , $\displaystyle y=\frac{1}{{9+4\sqrt{5}}}$ .

Bài tập 57: Cho biểu thức:

P = $\displaystyle \left( {\frac{{2\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+3}}+\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-3}}-\frac{{3x+3}}{{x-9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}-3}}-1} \right)$ với x ≥ 0 và x ≠ 9.

a) Rút gọn P;

b) Tìm các giá trị của x để P < $\displaystyle -\frac{1}{3}$ .

c) Tìm các giá trị của x để P có giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 58: Cho biểu thức: Q = $\displaystyle \frac{{2\sqrt{x}-9}}{{x-5\sqrt{x}+6}}-\frac{{\sqrt{x}+3}}{{\sqrt{x}-2}}-\frac{{2\sqrt{x}+1}}{{3-\sqrt{x}}}$ .

a) Tìm các giá trị của x để Q có nghĩa;

b) Rút gọn Q;

c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của Q là một số nguyên.

Bài tập 59: Cho biểu thức P = $\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{x}+2}}-\frac{5}{{x-\sqrt{x}-6}}-\frac{{\sqrt{x}-2}}{{3-\sqrt{x}}}$ .

a) Rút gọn P;

b) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Bài tập 60: Cho biểu thức P = $\displaystyle \left( {\frac{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}{{1-\sqrt{{xy}}}}+\frac{{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}{{1+\sqrt{{xy}}}}} \right):\left( {1+\frac{{x+y+2xy}}{{1-xy}}} \right)$ .

a) Rút gọn P;

b) Tính giá trị của P với x = $\displaystyle \frac{2}{{2+\sqrt{3}}}$ ;

c) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Bài tập 61: Cho P = $\displaystyle \frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{{xy}}+\sqrt{x}+2}}+\frac{{\sqrt{y}}}{{\sqrt{{yz}}+\sqrt{y}+1}}+\frac{{2\sqrt{z}}}{{\sqrt{{zx}}+2\sqrt{z}+2}}$ .