Bài 1: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
| a) $ \sqrt{{-3x}}$ | e) $ \frac{x}{{{{x}^{2}}-4}}$+ $ \sqrt{{x-2}}$ | h) $ \sqrt{{9{{x}^{2}}-6x+1}}$ | l) $ \sqrt{{{{x}^{2}}-16}}$ |
| b) $ \sqrt{{4-2x}}$ | f) $ \sqrt{{\frac{1}{{3-2x}}}}$ | i) $ \sqrt{{-{{x}^{2}}+2x-1}}$ | m) $ \sqrt{{{{x}^{2}}-2x-3}}$ |
| c) $ \sqrt{{-3x+2}}$ | g) $ \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}$ | k) $ \sqrt{{4-{{x}^{2}}}}$ | n) $ \sqrt{{x\left( {x+2} \right)}}$ |
| d) $ \frac{x}{{x-2}}+\sqrt{{x-2}}$ |
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
| a) $ \sqrt{{5+2\sqrt{6}}}-\sqrt{{5-2\sqrt{6}}}$ | g) $ \sqrt{{12}}+2\sqrt{{27}}+3\sqrt{{75}}-9\sqrt{{48}}$ | n)$ \frac{{\sqrt{{3-\sqrt{5}}}\left( {3+\sqrt{5}} \right)}}{{\sqrt{{10}}+\sqrt{2}}}$ |
| b) $ \sqrt{{7-2\sqrt{{10}}}}-\sqrt{{7+2\sqrt{{10}}}}$ | h) $ 2\sqrt{3}(\sqrt{{27}}+2\sqrt{{48}}-\sqrt{{75}}$ | o) $ \frac{{{{{\left( {\sqrt{5}+2} \right)}}^{2}}-8\sqrt{5}}}{{2\sqrt{5}-4}}$ |
| c) $ \sqrt{{6-4\sqrt{2}}}+\sqrt{{22-12\sqrt{2}}}$ | i) $ \sqrt{{8\sqrt{3}}}-2\sqrt{{25\sqrt{{12}}}}+4\sqrt{{\sqrt{{192}}}}$ | p) $ \frac{{2\sqrt{8}-\sqrt{{12}}}}{{\sqrt{{18}}-\sqrt{{48}}}}-\frac{{\sqrt{5}+\sqrt{{27}}}}{{\sqrt{{30}}+\sqrt{{162}}}}$ |
| d) $ \sqrt{{13+30\sqrt{{2+\sqrt{{9+4\sqrt{2}}}}}}}$ | k)$ \left( {4+\sqrt{{15}}} \right)\left( {\sqrt{{10}}-\sqrt{6}} \right)\sqrt{{4-\sqrt{{15}}}}$ | |
| e) $ \left( {\sqrt{3}-\sqrt{2}} \right)\sqrt{{5+2\sqrt{6}}}$ | l) $ \sqrt{{6-2\sqrt{{\sqrt{2}+\sqrt{{12}}+\sqrt{{18-\sqrt{{128}}}}}}}}$ | |
| f) $ \sqrt{{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{{2-\sqrt{3}}}$ | m) $ \frac{{10+2\sqrt{{10}}}}{{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}+\frac{8}{{1-\sqrt{5}}}$ |
Bài 3: Giải các phương trình sau:
| $ x-\sqrt{{4x-20}}=5$
|
$ \sqrt{{{{x}^{2}}-1}}-{{x}^{2}}+1=0$ | $ 3\sqrt{{9x-18}}-\frac{3}{4}\sqrt{{16x-32}}+\sqrt{{36x-72}}=26-\sqrt{{x-2}}$ |
| $ \sqrt{{2x-1}}=\sqrt{{x-1}}$ | $ \sqrt{{{{x}^{2}}-4}}-x+2=0$ | $ 3\sqrt{{15x}}-\sqrt{{15x}}-5=\frac{1}{3}\sqrt{{15x}}$ |
| $ \sqrt{{{{x}^{2}}-x-6}}=\sqrt{{x-3}}$ | $ \sqrt{{{{x}^{2}}-25}}-6\sqrt{{x-5}}=0$ | $ \sqrt{{2-x}}+\sqrt{{x-3}}=5$ |
| $ \sqrt{{{{x}^{2}}+x}}=x$ | $ \sqrt{{{{x}^{2}}-64}}-2\sqrt{{x+8}}=0$ | $ \sqrt{{x+4}}+\sqrt{{1-x}}=\sqrt{{1-2x}}$ |
| $ \sqrt{{1-{{x}^{2}}}}=x-1$ | $ \sqrt{{{{x}^{2}}-2x+1}}={{x}^{2}}-1$ | $ \sqrt{{5-{{x}^{2}}}}+\sqrt{{{{x}^{2}}+3}}=4$ |
| $ \sqrt{{{{x}^{2}}-4x+3}}=x-2$ | $ \sqrt{{4{{x}^{2}}-4x+1}}=x-1$ | $ {{x}^{2}}+x+12\sqrt{{x+1}}=36$ |
| $ -5x+7\sqrt{x}+12=0$ | $ \sqrt{{{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1}}=x-1$ | |
| $ x-2\sqrt{x}-8=0$ | $ \sqrt{{x-1}}\ge \sqrt{2}$ | $ \sqrt{{x-2+\sqrt{{2x-5}}}}+\sqrt{{x+2+3\sqrt{{2x-5}}}}=7\sqrt{2}$ |
| $ \sqrt{{1-4\sqrt{x}+4x}}=3$ | $ \sqrt{{3-2x}}\le \sqrt{5}$ | $ \sqrt{{x-\sqrt{{{{x}^{2}}-1}}}}+\sqrt{{x+\sqrt{{{{x}^{2}}-1}}}}=2$ |
| $ \sqrt{{x+2+2\sqrt{{x+1}}}}+\sqrt{{x+10-6\sqrt{{x+1}}=2\sqrt{{x+2-2\sqrt{{x+1}}}}}}$ | ||
Bài 4: Cho biểu thức $ A=\frac{{\sqrt{x}+1}}{{\sqrt{x}-1}}+\frac{{\sqrt{x}-1}}{{\sqrt{x}+1}}-\frac{{3\sqrt{x}+1}}{{x-1}}$ với $ x\ge 0,~x\ne 1.$
a) Rút gọn A;
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên;
c) Tìm các giá trị của x để A < 1;
d) Tìm giá trị nhỏ nhất cùa biểu thức A;
Bài 5: Cho biểu thức $ P=\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-1}}+\frac{3}{{\sqrt{x}+1}}-\frac{{6\sqrt{x}-4}}{{x-1}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$với $ x\ge 0;x\ne 1.$
a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị của x để P = -1;
c) So sánh P với 1;
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 6: Cho biểu thức $ E=\frac{{x+\sqrt{x}}}{{x-2\sqrt{{x+1}}}}:\left( {\frac{{\sqrt{x}+1}}{{\sqrt{x}}}-\frac{1}{{1-\sqrt{x}}}+\frac{{2-x}}{{x-\sqrt{x}}}} \right)$ với $ x\ge 0,x\ne 1.$
a) Rút gọn E;
b) Tìm giá trị của x để E > 1;
c) Tìm giá tị nhỏ nhất của E với x > 1;
d) Tìm x để $ E=\frac{9}{2}.$
Bài 7: Cho $ P=\left( {\frac{2}{{\sqrt{x}-1}}-\frac{5}{{x+\sqrt{x}-2}}} \right):\left( {1+\frac{{3-x}}{{\left( {\sqrt{x}-1} \right)\left( {\sqrt{x}+2} \right)}}} \right)$ với $ x\ge 0,~x\ne 1.$
a) Rút gọn P;
b) Tính P khi $ x=6-2\sqrt{5}$;
c) Tìm giá trị của x để $ P=\frac{1}{{\sqrt{x}}};$
d) Tìm x để $ P<1-\sqrt{x};$
e) Tìm GTNN của P;
f) So sánh P với 2;
Bài 8: Cho biểu thức: $ P=\left( {\frac{1}{{\sqrt{x}}}+\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+1}}} \right):\frac{{\sqrt{x}}}{{x+\sqrt{x}}}$ với x > 0.
a) Rút gọn P;
b) Tìm x để P = -1;
c) Tính P tại $ x=\frac{8}{{\sqrt{5}-1}}-\frac{8}{{\sqrt{5}+1}}$;
d) Tìm x để : $ P>\sqrt{x}+2$;
e) So sánh: P với 1;
f) Tìm GTNN của P.
Bài 9: Cho $ P=\left( {\frac{{2\sqrt{x}}}{{x\sqrt{x}-x+\sqrt{x}-1}}-\frac{1}{{\sqrt{x}-1}}} \right):\left( {1+\frac{{\sqrt{x}}}{{x+1}}} \right)$ với $ x\ge 0,x\ne 1.$
a) Rút gọn P;
b) Tính P tại x = 9;
c) Tìm x để $ P=-\frac{1}{7};$
d) So sánh P với 1;
e) Tìm x để P < 0.
Bài 10: Cho $ P=\frac{{2a+4}}{{a\sqrt{a}-1}}+\frac{{2+\sqrt{a}}}{{a+\sqrt{a}+1}}-\frac{2}{{\sqrt{a}-1}}$ với $ a\ge 0,~a\ne 1.$
a) Rút gọn P;
b) So sánh P với $ \sqrt{P}$;
c) So sánh P với |P|;
Bài 11: Cho hai biểu thức: $ A=\frac{{x-\sqrt{x}}}{{2-\sqrt{x}}}$ và $ B=\frac{{x+3}}{{x\sqrt{x}-1}}+\frac{1}{{1-\sqrt{x}}}$ với $ x>0,x\ne 1,x\ne 4.$
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36;
b) Rút gọn biểu thức P = A.B;
c) So sánh P với $ \frac{1}{3}$.
Bài 12: Cho các biểu thức $ A=\frac{{x-2}}{{2+\sqrt{x}}}\left( {x\ge 0} \right)$ và $ B=\left( {\frac{{8x\sqrt{x}-1}}{{2x-\sqrt{x}}}-\frac{{8x\sqrt{x}+1}}{{2x+\sqrt{x}}}} \right):\frac{{2x+1}}{{2x-1}}$
a) Chứng minh khi $ x=3+2\sqrt{2}$ thì $ A=\frac{{5\sqrt{2}-1}}{7}$
b) Rút gọn biểu thức B;
c) Tìm x để $ \frac{A}{B}=\frac{{x-2}}{{4\sqrt{x}}}.$
Bài 13: Cho các biểu thức $ A=\frac{1}{{\sqrt{x}-2}}-\frac{x}{{4-x}}+\frac{1}{{\sqrt{x}+2}}$ và $ B=\frac{{\sqrt{x}+2}}{{\sqrt{x}}}$
a) Tính giá trị của biểu thức A khi $ x=\frac{1}{{49}}$
b) Rút gọn biểu thức P = A : B
c) Tìm các giá trị của x thỏa mãn $ xP\le 10\sqrt{x}-29-\sqrt{{x-25}}$
Bài 14:
a) Cho $ M=\left( {1-\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt{x}+3}}{{\sqrt{x}-2}}+\frac{{\sqrt{x}+2}}{{3-\sqrt{x}}}+\frac{{\sqrt{x}+2}}{{x-5\sqrt{x}+6}}} \right)$
1. Rút gọn M
2. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên
b) Tính giá trị của biểu thức P
$ P=3{{x}^{{2013}}}+5{{x}^{{2011}}}+2006$ với $ x=\sqrt{{6+2\sqrt{2}.\sqrt{{3-\sqrt{{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{{18-8\sqrt{2}}}}}}}}}-\sqrt{3}$
Bài 15:
a) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $ M=\left( {{{x}^{2}}+\frac{1}{{{{y}^{2}}}}} \right)\left( {{{y}^{2}}+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}} \right)$
b) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn $ \frac{1}{{x+y}}+\frac{1}{{y+z}}+\frac{1}{{z+x}}=6$.
Chứng minh rằng: $ \frac{1}{{3x+3y+2z}}+\frac{1}{{3x+2y+3z}}+\frac{1}{{2x+3y+3z}}\le \frac{3}{2}$.