Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi THCS môn Toán lớp 8

Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi trung học cơ sở môn Toán lớp 8 phòng giáo dục và đào tạo huyện Ý Yên, tỉnh Nam Định năm 2015-2016.

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1. (3 điểm)

1) Chứng minh : $\displaystyle (x+y)({{x}^{3}}-{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}-{{y}^{3}})={{x}^{4}}-{{y}^{4}}$

2) Phân tích đa thức thành nhân tử : $x(x+2)({{x}^{2}}+2x+2)+1$.

3) Tìm a, b, c biết : $\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=ab+bc+ca$ và ${{a}^{8}}+{{b}^{8}}+{{c}^{8}}=3$.

Bài 2. (4 điểm)  Cho biểu thức :

$\displaystyle \text{P}=\frac{2}{x}-\left( \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+xy}+\frac{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}{xy}-\frac{{{y}^{2}}}{xy+{{y}^{2}}} \right).\frac{x+y}{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}$ với x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ -y.

1) Rút gọn biểu thức P.

2) Tính giá trị của biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức:

$\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+10=2(x-3y)$

Bài 3. (4 điểm)

1) Giải phương trình: $(6x+8)(6x+6){{(6x+7)}^{2}}=72$.

2) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: $\displaystyle {{x}^{2}}+x+3={{y}^{2}}$ .

Bài 4. (2 điểm) Cho các số a, b, c thỏa mãn $\displaystyle 1\ge a,b,c\ge 0$. Chứng minh rằng :

a + b² + c³ – ab – bc – ca  ≤ 1.

Bài 5. (5,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho $\displaystyle \widehat{IOM}={{90}^{0}}$ (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của AM và CD, K là giao điểm của OM và BN.

1) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.

2) Chứng minh $\widehat{BKM}=\widehat{BCO}$.

3) Chứng minh $\frac{\text{1}}{\text{C}{{\text{D}}^{\text{2}}}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{A}{{\text{M}}^{\text{2}}}}\text{ + }\frac{\text{1}}{\text{A}{{\text{N}}^{\text{2}}}}\text{.}$

Bài 6. (1,5  điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC), trọng tâm G. Qua G vẽ đường thẳng d cắt các cạnh AB, AC thứ tự ở D và E. Tính giá trị biểu thức $\displaystyle \frac{\text{AB}}{\text{AD}}\text{ + }\frac{\text{AC}}{\text{AE}}$.