Đề KSCL đầu năm môn Toán 9 TP Ninh Bình 2018-2019 có đáp án

Phần II – Tự luận (8,0 điểm)

(2,5 điểm)

⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\ge 3\\x+3x=1+3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x<3\\x-3x=3-1\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\ge 3\\x=1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x<3\\x=-1\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow x=-1$

0,75

(1,5 điểm)

Gọi số quyển vở loại 200 trang bạn Nam mua là x (quyển, điều kiện x $\in$N*, x$<$26) thì số quyển vở loại 120 trang là 26 – x ( quyển)

Số tiền mua vở loại 200 trang là 13500x (đồng)

Số tiền mua vở loại 120 trang là 9500(26 – x ) (đồng)

Ta có phương trình $13500x+9500(26-x)=263000$

$13500x-9500x=263000-9500.26$

$\Leftrightarrow 4000x=16000\Leftrightarrow x=4$(thỏa mãn)

0,25

0,25

0,25

0,25

263000 –( 13500.4.5% + 9500.22.10%) = 239 400 (đồng)

(3,0 điểm)

Ta có  AE=EK=KC= 2cm

Tính được BE= 2$\sqrt{2}$cm

Từ đó suy ra:  $\frac{{BE}}{{EK}}=\sqrt{2}$

và $\frac{{CE}}{{EB}}=\sqrt{2}$

0,25

0,25

0,25

0,25

Từ ý a suy ra: $\frac{{BE}}{{EK}}=\frac{{CE}}{{EB}}$

Suy ra: $\Delta BEK$đồng dạng $\Delta CEB$(c – g – c)

0,25

0,5

Từ ý b suy ra:  $\widehat{{BKE}}=\widehat{{CBE}}$

Do đó: $\widehat{{BKE}}+\widehat{{BCE}}=\widehat{{CBE}}+\widehat{{BCE}}$

Ta lại có: $\displaystyle \widehat{{BEA}}$là góc ngoài của tam giác EBC nên

$\widehat{{CBE}}+\widehat{{BCE}}=\widehat{{BEA}}={{45}^{0}}$

Nên $\displaystyle \widehat{{BKE}}+\widehat{{BCE}}={{45}^{0}}$

0,25

0,25

0,25

0,25

(1,0 điểm)

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{{x+y}}$

Chứng minh: Vì x, y dương nên $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{{x+y}}\Leftrightarrow {{(x+y)}^{2}}\ge 4xy$

$\Leftrightarrow {{\left( {x-y} \right)}^{2}}\ge 0$với mọi x, y thỏa mãn yêu cầu

0,25

Cũng có: $\frac{1}{{x+y}}+\frac{1}{{x+z}}\le \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z})=\frac{1}{4}\left( {\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \right)$

Do đó :              $\frac{1}{{2x+y+z}}\le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \right)$

Tương tự ta có: $\frac{1}{{x+2y+z}}\le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}} \right)$

$\frac{1}{{x+y+2z}}\le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}} \right)$

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên kết hợp với điều kiện $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$ ta có điều phải chứng minh

0,25

0,25

0,25