Đề thi chọn HSG Toán 9 huyện Đan Phượng 2018-2019

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9, Phòng giáo dục và đào tạo huyện Đan Phượng, TP Hà Nội năm học 2018-2019.

Ngày thi 23/10/2018. Thời gian làm bài 150 phút.

Bài 1: (5 điểm)

1. Cho biểu thức: $\displaystyle P=\frac{{x\sqrt{x}+26\sqrt{x}-19}}{{x+2\sqrt{x}-3}}-\frac{{2\sqrt{x}}}{{\sqrt{{x-1}}}}+\frac{{\sqrt{x}-3}}{{\sqrt{x}+3}}$

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

2. Cho $\displaystyle a=\sqrt[3]{{2-\sqrt{3}}}+\sqrt[3]{{2+\sqrt{3}}}$. Chứng minh $\displaystyle \frac{{64}}{{{{{\left( {{{a}^{2}}-3} \right)}}^{3}}}}-3a$ là số nguyên

Bài 2: (4 điểm)

1. Giải phương trình $\displaystyle {{x}^{2}}-x-4=2\sqrt{{x-1}}(1+x)$

2. Nhà toán học De morgan (1806-1871) khi được hỏi tuổi đã trả lời: tôi x tuổi vào năm x². Hỏi năm x² đó ông bao nhiêu tuổi.

3. Tìm số tự nhiên A biết rằng trong ba mệnh đề sau có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai:

a) A + 51 là số chính phương

b) Chữ số tận cùng bên phải của A là số 1

c) A – 38 là số chính phương

Bài 3: (4 điểm)

a) Tìm x và y biết $\displaystyle 2{{x}^{2}}+4x-3{{y}^{3}}+5=0$ và $\displaystyle {{x}^{2}}{{y}^{2}}+2x+{{y}^{2}}=0$

b) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn $\displaystyle {{x}^{2}}y+xy-2{{x}^{2}}-3x+4=0$

Bài 4: (6 điểm)

1. Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AH, BI, CK

a) Chứng minh rằng tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB;

Biết S_AKI = S_BKH = S_CHI. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

2) Cho tam giác ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (0; R) và đường cao AH = R√2 . Gọi M và N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng 3 điểm M, O, N thẳng hàng.

Bài 5: (1 điểm)

Với 3 số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1, chứng minh:

$\displaystyle \frac{{1-{{x}^{2}}}}{{x+yz}}+\frac{{1-{{y}^{2}}}}{{y+zx}}+\frac{{1-{{z}^{2}}}}{{z+xy}}\ge 6$