WebToan.Com là thư viện mở ngành Toán học NÊN sao chép, chia sẻ, KHÔNG NÊN thương mại hoá.

Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1986-1987

Đây là bài thứ 1 of 9 trong series Đề thi học sinh giỏi Toán cấp 2 từ 1986-1995

Đây là Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1986-1987 gồm 2 bảng A và B. Mỗi đề có tất cả 4 bài với 2 câu đại số và 2 câu hình học.

(Thời gian làm bài 180 phút)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ TOÀN QUỐC

BẢNG A
Bài 1: Một lớp gồm 40 học sinh đứng thành vòng tròn và quay mặt vào trong vòng tròn để chơi bóng. Mỗi học sinh nhận được bóng phải ném bóng qua mặt 6 bạn đứng bên trái mình. Chứng minh rằng tất cả học sinh trong lớp đều nhận được bóng ném tới mình sau 40 lần ném bóng liên tiếp.

Bài 2: Người ta viết n số nguyên khác 0 thành một hàng ngang (theo thứ tự từ trái qua phải) sao cho mỗi tổng ba số liên tiếp bất kì là số dương và tổng n số nguyên đó là số âm.

a) Chứng minh n không thể là bội của 3.

b) Giả sử n − 2 chia hết cho 3 và số đầu tiên là số dương. Chứng minh rằng số thứ 3k + 2 là

số âm, còn số thứ 3k (với k = 0, 1, 2, …) là số dương.

Bài 3: Tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu các bán kính của bốn đường tròn nội tiếp các tam giác EAB, EBC, ECD, EDA mà bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình thoi.

Bài 4: Cho góc xOy và đường thẳng t bất kì đi qua điểm A trên cạnh Ox. Trên cạnh Oy lấy điểm B. Hãy tìm điểm M trên Ox, điểm N trên Oy sao cho AM = BN và đường thẳng t đi qua trung điểm của MN.

BẢNG B

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O và H là trực tâm của tam giác ABC.

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

👉 Để CHẤT LƯỢNG TÀI LIỆU đến các em học sinh và giáo viên được tốt nhất. Mọi người vui lòng nhập mật khẩu vào ô bên trên

🔎 Lấy mật khẩu bằng cách xem hướng dẫn từ video này

‼️‼️‼️ Hướng dẫn lấy mật khẩu (làm theo video bên dưới)

🔜 Sau khi lấy được Mã thì quay lại điền vào ô Nhập Mật Khẩu ở trên

1600222007 cua cuon duc cuacuonsg

a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.

b) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì tứ giác BHCD là hình thoi ? là hình chữ nhật ? Hãy giải thích điều đó.

Bài 2: Cho A = $ \displaystyle n_{{}}^{3}+3n_{{}}^{2}+2n$

a) Chứng minh A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của n.

b) Tìm giá trị nguyên dương của n, với n < 10 để A chia hết cho 15.

Bài 3: Phân tích tùy ý số 1987 thành tổng hai số tự nhiên lớn hơn 1 rồi xét tích của hai số
hạng đó.

Trong các cách phân tích số 1987 như trên, hãy tìm tích số có giá trị nhỏ nhất.

Bài 4: Hãy nêu cách dựng hình bình hành khi biết độ dài hai cạnh và biết đường chéo chia góc ở đỉnh của hình bình hành sao cho tỉ số giữa số đo độ hai góc đó là 1 : 3

Khi nào thì bài toán có nghiệm hình và lúc đó có bao nhiêu nghiệm hình ?

★★★ Danh sách các tài liệu, đề thi HOT ★★★

✔️ 240+ Đề thi toán lớp 9

✔️ 10+ Đề thi học sinh giỏi quốc gia

Bình luận
0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
Bình luận fb
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x