Đây là bài thứ 1 of 9 trong series Đề thi học sinh giỏi Toán cấp 2 từ 1986-1995
Đây là Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1986-1987 gồm 2 bảng A và B. Mỗi đề có tất cả 4 bài với 2 câu đại số và 2 câu hình học.
(Thời gian làm bài 180 phút)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ TOÀN QUỐC
BẢNG A
Bài 1: Một lớp gồm 40 học sinh đứng thành vòng tròn và quay mặt vào trong vòng tròn để chơi bóng. Mỗi học sinh nhận được bóng phải ném bóng qua mặt 6 bạn đứng bên trái mình. Chứng minh rằng tất cả học sinh trong lớp đều nhận được bóng ném tới mình sau 40 lần ném bóng liên tiếp.
Bài 2: Người ta viết n số nguyên khác 0 thành một hàng ngang (theo thứ tự từ trái qua phải) sao cho mỗi tổng ba số liên tiếp bất kì là số dương và tổng n số nguyên đó là số âm.
a) Chứng minh n không thể là bội của 3.
b) Giả sử n − 2 chia hết cho 3 và số đầu tiên là số dương. Chứng minh rằng số thứ 3k + 2 là
số âm, còn số thứ 3k (với k = 0, 1, 2, …) là số dương.
Bài 3: Tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu các bán kính của bốn đường tròn nội tiếp các tam giác EAB, EBC, ECD, EDA mà bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình thoi.
Bài 4: Cho góc xOy và đường thẳng t bất kì đi qua điểm A trên cạnh Ox. Trên cạnh Oy lấy điểm B. Hãy tìm điểm M trên Ox, điểm N trên Oy sao cho AM = BN và đường thẳng t đi qua trung điểm của MN.
BẢNG B
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O và H là trực tâm của tam giác ABC.
a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì tứ giác BHCD là hình thoi ? là hình chữ nhật ? Hãy giải thích điều đó.
Bài 2: Cho A = $ \displaystyle n_{{}}^{3}+3n_{{}}^{2}+2n$
a) Chứng minh A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của n.
b) Tìm giá trị nguyên dương của n, với n < 10 để A chia hết cho 15.
Bài 3: Phân tích tùy ý số 1987 thành tổng hai số tự nhiên lớn hơn 1 rồi xét tích của hai số
hạng đó.
Trong các cách phân tích số 1987 như trên, hãy tìm tích số có giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Hãy nêu cách dựng hình bình hành khi biết độ dài hai cạnh và biết đường chéo chia góc ở đỉnh của hình bình hành sao cho tỉ số giữa số đo độ hai góc đó là 1 : 3
Khi nào thì bài toán có nghiệm hình và lúc đó có bao nhiêu nghiệm hình ?
