Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1987-1988

Đây là bài thứ 2 of 9 trong series Đề thi học sinh giỏi Toán cấp 2 từ 1986-1995

Đây là Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1987-1988 gồm 2 bảng A và B. Mỗi đề có tất cả 4 bài với 2 câu đại số và 2 câu hình học.

(Thời gian làm bài 180 phút)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ TOÀN QUỐC

BẢNG A

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
$\displaystyle 8(2-x)+y_{{}}^{2}-z_{{}}^{2}=0$ với y < x < 10.

Bài 2: Chứng minh rằng trong 90 số tự nhiên liên tiếp nào đó k + 1, k + 2, . . . , k + 90 với k >
10 thì bao giờ cũng có ít nhất 66 số là hợp số.

Bài 3: Cho tam giác ABC có góc A nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm P. Nửa đường tròn đường kính BC với tâm E cắt các cạnh AB, AC tại M, N theo thứ tự đó. Gọi giao điểm ba đường cao của các tam giác ABC và AMN tương ứng là H và K. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

a) Chứng minh ba điểm A, K, P thẳng hàng; ba điểm A, I, H thẳng hàng.

b) Chứng minh KH, MN, IE cắt nhau tại một điểm.

Bài 4: Một kho vật liệu K nằm ở giao điểm hai đường chéo AC, BD của hình chữ nhật ABCD, trong đó AB là đoạn đường sắt, BC là đoạn đường ôtô, CD là bờ sông. Trên cạnh AD có nhà máy M với AM = 2MD. Một ôtô xuất phát từ K phải chở vật liệu đến cạnh đường sắt trước, sau đó đến cạnh đường ô tô, rồi đến cạnh bờ sông và cuối cùng đến nhà máy M. Biết rằng ôtô có thể chạy thẳng trên mặt đất theo hướng nào cũng được, hãy tìm xem ôtô đi theo con đường gấp khúc như thế nào là ngắn nhất.

BẢNG B

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông góc ở A. Từ trung điểm K của BC kẻ đường thẳng vuông góc với AK; đường thẳng này cắt AB tại D và cắt AC tại E. Gọi I là trung điểm của ED.

a) Chứng minh AI vuông góc với BC.

b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không ? Tại sao ?

Bài 2: Có mảnh gỗ hình tam giác ABC. Hãy tìm cách cưa mảnh gỗ đó theo đường thẳng đi qua điểm M nằm trên cạnh BC (M khác A, C), để chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài 3: Hãy tìm các chữ số thích hợp x, y, z để số A = x54y199z chia hết cho 330.

Bài 4: Cho phương trình hai ẩn số:
$\displaystyle \frac{x_{{}}^{2}+y_{{}}^{2}}{x_{{}}^{2}y_{{}}^{2}}-\frac{1}{2xy}=1$

a) Chứng minh rằng với mọi cặp số x, y thỏa mãn điều kiện: |x| ≥ 2 và |y| ≥ 2 không thể là nghiệm của phương trình trên.

b) Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình trên.