Đây là bài thứ 3 of 9 trong series Đề thi học sinh giỏi Toán cấp 2 từ 1986-1995
Đây là Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1988-1989 gồm 2 bảng A và B. Mỗi đề có tất cả 4 bài với 2 câu đại số và 2 câu hình học.
(Thời gian làm bài 180 phút)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ TOÀN QUỐC
BẢNG A
Bài 1: Tìm số tự nhên sao cho khi cộng ba số: số đó, số các chữ số của số đó và tổng các chữ số của số đó, ta được 1988.
Bài 2: Cho $ \displaystyle P=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+y+z}$
Hãy tìm các giá trị của x, y, z để P đạt giá trị dương nhỏ nhất.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại B nội tiếp trong đường tròn tâm O. Trên cạnh AB kéo dài về phía B lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳng Dy vuông góc với CD tại D cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn tâm O tại E.
Tam giác BDE là tam giác gì ? Hãy chứng minh điều em khẳng định.
Bài 4: Dựng tam giác biết vị trí ba điểm phân biệt: một đỉnh của tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp và giao điểm ba đường cao của tam giác đó.
BẢNG B
Bài 1: Đường tròn tâm P bán kính r và đường tròn tâm Q bán kính s cắt nhau tại A và B
(A không trùng với B và s không bằng r). CD là tiếp tuyến chung, C thuộc đường tròn (P) và D
thuộc đường tròn (Q). Đường thẳng qua C song song với AD và đường thẳng qua D song song với
AC cắt nhau tại E.
a) Chứng minh ba điểm A, B, E thẳng hàng.
b) So sánh độ dài của đoạn BE với tổng r + s.
Bài 2: Cho 1989 điểm phân biệt trên cùng một mặt phẳng, biết rằng trong ba điểm bất kì có
thể chọn được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1cm. Chứng minh trong các diểm đã cho có ít
nhất 995 điểm cùng nằm trong hoặc trên một đường tròn bán kính 1cm.
Bài 3: Một vận động viên chạy với vận tốc đều từ A đến B rồi quay ngay về A. Một người đi bộ với vận tốc đều (không quá 7km/h) từ B đến A rồi quay ngay về B. Hai người cùng khởi hành cùng một lúc và gặp nhau lần thứ hai tại D, trong khi quay về điểm xuất phát của mình. Thời gian của người đi bộ từ D về B gấp 2,5 lần thời gian của vận động viên chạy từ D về A.
Tính vận tốc mỗi người, biết vận tốc của họ tính theo km/h đều là các số nguyên.
