Đây là bài thứ 4 of 9 trong series Đề thi học sinh giỏi Toán cấp 2 từ 1986-1995
Đây là Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1989-1990 gồm 2 bảng A và B. Mỗi đề có tất cả 4 bài với 2 câu đại số và 2 câu hình học.
(Thời gian làm bài 180 phút)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ TOÀN QUỐC
BẢNG A
Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ (với đơn vị dài ở trục tung và trục hoành bằng nhau), ta gọi điểm M(x, y) là một “điểm nguyên” nếu cả x và y đều nguyên. Vẽ đường tròn có tâm O ở gốc tọa độ và bán kính R khác 0.
a) Chứng minh rằng số các “điểm nguyên” nằm trên đường tròn (O,R) chia hết cho 4.
b) Bán kính R phải thuộc tập hợp số nào để số các “điểm nguyên” nằm trên đường tròn khi
chia cho 8 thì có số dư là 4 ?
Bài 2: Giả sử x, y là các số tự nhiên khác 0, thỏa mãn phương trình $ \displaystyle 2x_{{}}^{2}+x=3y_{{}}^{2}+y$ (1) .
a) Chứng minh rằng: (x – y), (2x + 2y + 1), (3x + 3y + 1) đều là các số chính phương.
b) Hãy tìm một nghiệm nguyên dương của phương trình (1).
Bài 3: Cho đường tròn tâm O và một điểm P nằm trong đường tròn đó. Qua P kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau.
1. Chứng minh rằng:
a) PA.PB = PC.PD
b) Tổng $ \displaystyle PA_{{}}^{2}+PB_{{}}^{2}+PC_{{}}^{2}+PD_{{}}^{2}$ có giá trị không đổi với bất cứ vị trí nào của P trong đường tròn đã cho.
2. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các cạnh AC, BC, BD và AD thứ tự là H, I, K, L; và gọi trung điểm của AC, BC, BD và AD thứ tự là M, N, R, Q. Chứng minh 8 điểm H, I, K, L, M, N, R, Q cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 4: Cho tư giác ABCD nội tiếp trong đường tròn. Gọi độ dài các đoạn thẳng thứ tự như sau: AB = a, BC = b, CD = d, DA = d, AC = x, BD = y.
a) Chứng minh: xy = ac + bd và $ \displaystyle \frac{x}{y}=\frac{ad+bc}{ab+cd}$
b) Tính độ dài các đường chéo của ABCD khi biết độ dài các cạnh của nó.
BẢNG B
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của số tự nhiên n để n + 7 chia hết cho n – 2
Bài 2: Viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 100 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành số sau đây: 1234567891011 . . . 9899100
Bằng cách đặt một dấu (+) vào giữa hai chữ số nào đó của số trên ta được một tổng của hai số.
Chứng minh tổng hai số đó không chia hết cho 1989.
Bài 3: Với điều kiện nào của các số hửu tỉ dương: a, b, c, d thì căn thức $ \displaystyle \sqrt{a+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}$ biễu diễn được thành tổng của ba căn thức √x + √y + √t, trong đó x, y, t là các số hửu tỉ dương.
Hãy cho một thí dụ bằng số cụ thể.
Bài 4: Cho hình chữ nhật có bốn đỉnh A, B, C, D nằm hoàn toàn bên trong một đường tròn.Các tia DA, AB, BC, CD theo thứ tự cắt đường tròn ở $ \displaystyle {{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}},{{P}_{4}}$. Các tia AD, BA, CB, D theo thứ tự cắt đường tròn ở $ \displaystyle {{M}_{1}},{{M}_{2}},{{M}_{3}},{{M}_{4}}$.
a) Chứng minh: $ \displaystyle A{{P}_{1}}+C{{P}_{3}}=B{{M}_{3}}+D{{M}_{1}}$ và $ \displaystyle A{{M}_{2}}+C{{M}_{4}}=B{{P}_{2}}+D{{P}_{4}}$
b) So sánh diện tích hai tứ giác $ \displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{2}}{{P}_{3}}{{P}_{4}}$ và $ \displaystyle {{M}_{1}}{{M}_{2}}{{M}_{3}}{{M}_{4}}$.
c) Chứng minh rằng nếu hai dây cung $ \displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{2}}$ và $ \displaystyle {{P}_{1}}{{P}_{4}}$ bằng nhau thì hai dây cung $ \displaystyle {{M}_{1}}{{M}_{2}}$ và $ \displaystyle {{M}_{1}}{{M}_{4}}$ cũng bằng nhau.
