WebToan.Com là thư viện mở ngành Toán học NÊN sao chép, chia sẻ, KHÔNG NÊN thương mại hoá.

Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1993-1994

Đây là Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1993-1994 gồm 2 bảng A và B. Mỗi đề có tất cả 4 bài với 2 câu đại số và 2 câu hình học.

(Thời gian làm bài 180 phút)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ TOÀN QUỐC

BẢNG A

Bài 1:
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $ \displaystyle 7x_{{}}^{2}+13y_{{}}^{2}=1820$
.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước nguyên tố của $ \displaystyle p_{{}}^{4}$ là một số chính
phương.

Bài 2:
a) Cho $ \displaystyle S=a_{{}}^{2}+b_{{}}^{2}+c_{{}}^{2}+d_{{}}^{2}+ac+bd$
, trong đó ad bc = 1
1. Chứng minh S ≥ √3
2. Tính giá trị của tổng $ \displaystyle \left( a+c \right)_{{}}^{2}+\left( b+d \right)_{{}}^{2}$, khi biết S = 3.

b) Giải hệ phương trình với các ẩn x, y, z sau đây:
$ \displaystyle \frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}=\frac{x_{{}}^{2}+y_{{}}^{2}+z_{{}}^{2}}{a_{{}}^{2}+b_{{}}^{2}+c_{{}}^{2}}$ (trong đó a, b, c là các số cho trước).

Bài 3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thỏa mãn a > b > c, và O là điểm bất kì nằm trong tam giác đó. Các đướng thẳng AO, BO, CO thứ tự cắt các cạnh của tam giác tại P, Q, R.

Chứng minh rằng OP + OQ + OR < a.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C và có $ \displaystyle \widehat{A}<\widehat{B}$. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Cho biết tam giác BIO là một tam giác vuông. Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC.

BẢNG B

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

👉 Để CHẤT LƯỢNG TÀI LIỆU đến các em học sinh và giáo viên được tốt nhất. Mọi người vui lòng nhập mật khẩu vào ô bên trên

🔎 Lấy mật khẩu bằng cách xem hướng dẫn từ video này

‼️‼️‼️ Hướng dẫn lấy mật khẩu (làm theo video bên dưới)

🔜 Sau khi lấy được Mã thì quay lại điền vào ô Nhập Mật Khẩu ở trên

1600222007 cua cuon duc cuacuonsg

Bài 1: Xem bài 1 của Bảng A.

Bài 2:
a) Cho
a 0, b 0, c 0, chứng minh rằng: $ \displaystyle a_{{}}^{4}+b_{{}}^{4}+c_{{}}^{4}+d_{{}}^{4}\ge abc(a+b+c)$
b) Xem phần b câu 2 bài 2 của Bảng A.

Bài 3: Cho tam giác ba góc nhọn ABC. Lấy điểm P ở trong tam giác ABC và trên các cạnh AC, BC ta lấy các điểm M L tương ứng, sao cho: $ \displaystyle \widehat{PAC}=\widehat{PAB}$ và $ \displaystyle \widehat{PMC}=\widehat{PLC}=90_{{}}^{0}$.

a) Chứng minh đường trung trực của ML đi qua trung điểm D của cạnh AB.

b) Hỏi với điều kiện nào của tam giác ABC thì trung trực của ML cũng là trung trực của
cạnh
AB ? Chứng minh điều đó.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C và có $ \displaystyle \widehat{A}<\widehat{B}$. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Cho biết tam giác BIO là một tam giác vuông.

a) Chứng minh tam giác BIO vuông ở I.

b) Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC.

★★★ Danh sách các tài liệu, đề thi HOT ★★★

✔️ 240+ Đề thi toán lớp 9

✔️ 10+ Đề thi học sinh giỏi quốc gia

Bình luận
5 1 vote
Article Rating
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
Bình luận fb
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x