Đề thi HSG môn Toán 9 quận Đống Đa 2018-2019

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9, phòng giáo dục và đào tạo quận Đống Đa, năm học 2018-2019. Ngày thi 3/11/2018. Thời gian: 120 phút.

Câu 1: (4 điểm)

Cho biểu thức: $\displaystyle P=\left( {\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{{ab}}+1}}+\frac{{\sqrt{{ab}}+\sqrt{a}}}{{1-\sqrt{{ab}}}}+1} \right):\left( {1+\frac{{\sqrt{{ab}}+\sqrt{a}}}{{1-\sqrt{{ab}}}}-\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{{ab}}+1}}} \right)$

1. Rút gọn P

2. Cho $\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{a}}}+\frac{1}{{\sqrt{b}}}=6$. Tìm GTLN của P.

Câu 2: (5 điểm)

1. Giải phương trình $\displaystyle 2\left( {{{x}^{2}}+2x+3} \right)=5\sqrt{{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+2}}$ với $\displaystyle x$ là ẩn số

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện: $\displaystyle 2x{{y}^{2}}+x+y+1={{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+xy$

Câu 3: (4 điểm)

1. Với các số thực a, b > 0 và thỏa mãn điều kiện 2a + b ≤ 3, chứng minh:

$\displaystyle \frac{2}{{\sqrt{{a+3}}}}+\frac{1}{{\sqrt{{b+3}}}}\ge \frac{3}{2}$

2. Hãy cho biết kết quả của phép tính 2¹⁰⁰ có bao nhiêu chữ số? Vì sao?

Câu 4: (6 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH. Gọi D là điểm thuộc tia HC sao cho HD = HA. Đường vuông góc BC tại D cắt AC tại E.

1. Chứng minh tam giác AEB vuông cân

2. Gọi M là trung điểm của BE. Tính số đo góc AHM.

3. Gọi I là trung điểm của AH, đường vuông góc với BC tại C cắt BI tại K. Chứng minh KA = KC.

Câu 5: (1 điểm)

Chia các số 1, 2, 3, 4,…,199, 200 thành 50 nhóm. Chứng minh có ít nhất một nhóm có 3 số là số đo ba cạnh của một tam giác.