Đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh An Giang năm học 2012-2013

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh An Giang năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề).

Bài 1 : (4,0 điểm)

a. Khử căn ở mẫu số

$A=\frac{59}{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}$

b. Tính tổng

$S=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{\sqrt{2011}+\sqrt{2013}}$

Bài 2 : (4,0 điểm)

Cho đa thức: $Q\left( x \right)={{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+1$

a. Phân tích đa thức $Q\left( x \right)$ thành nhân tử.

b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình y² =  x⁴ + 3x² +1

Bài 3 : (4,0 điểm)

a. Vẽ đồ thị hàm số: $y=f\left( x \right)=\left| 3x-9 \right|+x-7$

b Giải phương trình: $3\sqrt{{{x}^{2}}-6\sqrt{{{x}^{2}}}+9}+\sqrt{{{x}^{2}}}-7=0$

Bài 4 : (4,0 điểm)

Cho hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x+2y=-1\\3x+my=1\end{array} \right.$ (m là tham số)

a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm, tìm nghiệm đó.

b. Xác định giá trị nhỏ nhất của : $P={{\left( x+2y+1 \right)}^{2}}+{{\left( 3x+my-1 \right)}^{2}}$

Bài 5 : (4,0 điểm)

Cho hình thang cân ABCD cạnh bên là AD và BC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính R = 2

a. Chứng minh rằng hai tam giác IAD và IBC vuông

b. Cho AB = 2x (0 < x < 2). Tính diện tích hình thang ABCD theo x.