Đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh Đồng Nai năm học 2012-2013

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Đồng Nai năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Không kể thời gian giao đề.

Ngày thi 5/4/2013.

Câu 1 ( 4 điểm).

Cho đa thức P(x) = x³ + 3ax + 2b, với x là biến số thực, a và b là các số thực cho trước thỏa a³ + b² ≥ 0.

Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = $\sqrt[3]{\sqrt{{{a}^{3}}+{{b}^{2}}}-b}-\sqrt[3]{\sqrt{{{a}^{3}}+{{b}^{2}}}+b}$

Câu 2 (4 điểm) . Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-2y+1=0\\{{y}^{2}}+x-3y+1=0\end{array} \right.$ (với x, y ∈ R )

Câu 3. (3,5 điểm).

Cho các số nguyên dương m, n, k thỏa mãn m.n = k² và ước chưng lớn nhất của các số m, n, k bằng 1.

Chứng minh rằng m, n là số chính phương.

Câu 4. (4 điểm)

Cho S là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 1000.

1) Tính số phần tử của tập hợp S là bội của 3.

2) Tính số phần tử của tập hợp S không là bội của 2 và không là bội của 3.

Câu 5 (4, 5 điểm)

Cho tứ giác HIJK có $\displaystyle \widehat{IHK}=\widehat{JKH}={{90}^{0}}$, 0<IH – JK <IJ<IH + JK.

Gọi (I) là đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng HK tại H. Gọi (J) là đường tròn tâm J và tiếp xúc với đường thẳng HK tại K. Đường tròn (I) cắt đường tròn (J) tại M và N, với hai điểm M và H nằm khác phía đối với đường thẳng IJ. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng HK; đường thẳng d cắt đường tròn (I) tại A (A M); đường thẳng d cắt đường tròn (J) tại điểm B, với B ≠ M. Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng MN và HK.

1) Chứng minh HK là đường trung bình tam giác ABC.

2) Chứng minh rằng DH = DK.