Đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh Lâm Đồng năm 2012-2013

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Lâm Đồng năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Ngày thi 28/2/2013.

Bài 1: (2điểm).      Cho hàm số f(x) = x⁴ – 4x² +12x – 9.

a) Phân tích f(x) thành nhân tử

b) Giải phương trình f(x) = 0.

Bài 2: (2điểm).      Cho A = $\left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{a-\sqrt{a}} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{a}+1}+\frac{2}{a-1} \right).$

a) Rút gọn A.

b) Tính A khi a = 3 + 2$\sqrt{2}$

Bài 3: (2điểm).      Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác.

a) So sánh diện tích các tam giác sau: GAB; GAC; GBC.

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác MNP.

Bài 4: (2điểm).      Cho hàm số f(x) = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 1. Chứng minh rằng f(x) luôn có giá trị là số chính phương với mọi giá trị nguyên của x.

Bài 5: (2điểm).      Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = a; BC = a$\sqrt{2}$. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.

Bài 6: (2điểm).      Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}4x-y=5\\16{{y}^{2}}-8xy+{{x}^{2}}-40xy+10x+25=0\end{array} \right.$

Bài 7: (2điểm).      Chứng minh rằng với mọi x, y ta có: $9{{y}^{2}}+17{{x}^{2}}+6xy+8x+2>0$

Bài 8: (2điểm).      Tính giá trị biểu thức P = 28x⁵ – 2x⁴ – 2013x³ +14606x – 3454 khi $\frac{x}{{{x}^{2}}+x+1}=\frac{1}{4}$.

Bài 9: (2điểm).      Cho hình thoi ABCD có $\widehat{BAD}={{120}^{0}}$. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho $\widehat{BAM}={{15}^{0}}$. AM kéo dài cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh rằng: $\frac{3}{A{{M}^{2}}}+\frac{3}{A{{N}^{2}}}=\frac{4}{A{{B}^{2}}}$.

Bài 10: (2điểm).    Cho x, y là các số thỏa mãn: $(\sqrt{{{x}^{2}}+2013}+x)(\sqrt{{{y}^{2}}+2013}+y)=2013.$. Hãy tính giá trị biểu thức x + y.