Đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh Phú Thọ năm học 2012-2013

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Phú Thọ năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Không kể thời gian giao đề.

Câu1:

1, Giải phương trình nghiệm nguyên:

$\displaystyle 8{{x}^{2}}-3\text{x}y-5y=25$

2,Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho  A=  $\displaystyle n{{.4}^{n}}+{{3}^{n}}\vdots 7$

Câu 2:
1, Rút gọn biểu thức:    A= $\displaystyle \sqrt{\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{30}-2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2\sqrt{10}-2\sqrt{2}}}:\frac{2}{\sqrt{3}-1}$

2, Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn: $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}-yz}{a}=\frac{{{y}^{2}}-z\text{x}}{b}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{c}$ .

Chứng minh rằng: $\displaystyle \frac{{{a}^{2}}-bc}{x}=\frac{{{b}^{2}}-ca}{y}=\frac{{{c}^{2}}-ab}{z}$

 Câu3:
1, Cho phương trình: $\displaystyle {{x}^{2}}-6\text{x}-m=0$ (Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂  thoả mãn: $\displaystyle {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=12$

2, Giải hệ phương trình:  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}8{{\text{x}}^{3}}{{y}^{3}}+27=18{{y}^{3}}\\4{{\text{x}}^{2}}y+6\text{x}={{y}^{2}}\end{array} \right.$

Câu 4:
1, Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB.

a, CMR: $\displaystyle H{{A}^{2}}+H{{B}^{2}}+H{{C}^{2}}+H{{\text{D}}^{2}}$ không đổi.
b, CMR :  là tứ giác nội tiếp.

2, Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh  AB,BC,CD,DA của hình vuông.  CMR: $\displaystyle {{S}_{ABC\text{D}}}$ ≤ $\displaystyle AC\frac{MN+NP+PQ+QM}{4}$

Câu 5: Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: $\displaystyle \frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2\text{a}}+\frac{ca}{c+3a+2b}\le \frac{a+b+c}{6}$