Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm)
1) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: A=1√2+1−√8−√102−√5
2) Rút gọn biểu thức B = (aa−2√a+a√a−2):√a+1a−4√a+4 với a > 0, a ≠ 4.
Bài 2: (2 điểm)
1) Cho hệ phương trình: {ax−y=−yx−by=−a
Tìm a và b biết hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y) = (2; 3).
2) Giải phương trình: 2(2x – 1) – 3√5x−6=√3x−8
Bài 3: (2 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y=12x2
a) Vẽ đồ thị (P).
b)Trên (P) lấy điểm A có hoành độ xA = -2. Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho |MA – MB| đạt giá trị lớn nhất, biết rằng B(1; 1).
Bài 4: (2 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B.
Trên cung ⌢AB lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM, tia CO cắt d tại D.
a) Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: NO ⊥ AD
c) Chứng minh rằng: CA. CN = CO . CD.
d) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ nhất.
—– HẾT —–
Giám thị không giải thích gì thêm.
Gợi ý giải:
Bài 1: (2 điểm)
1) A=1√2+1−√8−√102−√5=√2−11−√2(2−√5)2−√5=√2−1−√2=−1
2) B = (aa−2√a+a√a−2):√a+1a−4√a+4 với a > 0, a ≠ 4.
= (aa−2√a+a√a−2):√a+1a−4√a+4=(√a√a−2+a√a−2)⋅(√a−2)2√a+1
= √a+a√a−2⋅(√a−2)2√a+1=√a(1+√a)√a−2⋅(√a−2)2√a+1=√a(√a−2)
Bài 2: (2 điểm)
1) Vì hệ phương trình: {ax−y=−yx−by=−a có nghiệm (x, y) = (2; 3) nên ta có hpt:
{2a−3=−b2−3b=−a⇔{2a+b=3a−3b=−2⇔{6a+3b=9a−3b=−2⇔{7a=72a+b=3⇔{a=1b=1
Vậy a = 1, b = 1
2) Giải phương trình: 2(2x – 1) – 3√5x−6=√3x−8
Vậy pt có nghiệm x = 3.
Bài 3: (2 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P):
a) Lập bảng giá trị (HS tự làm).
Đồ thị:
b) Vì A ∈ (P) có hoành độ xA = -2 nên yA = 2. Vậy A(-2; 2)
Lấy M(xM; 0) bất kì thuộc Ox,
Ta có: |MA – MB| ≤ AB (Do M thay đổi trên Ox và BĐT tam giác)
Dấu “=” xảy ra khi 3 điểm A, B, M thẳng hàng, khi đó M là giao điểm của đường thẳng AB và trục Ox.
– Lập pt đường thẳng AB
– Tìm giao điểm của đường thẳng AB và Ox, tìm M (4; 0).
Bài 4: (2,00 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B.
Trên cung ⌢AB lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM , tia CO cắt d tại D.
a) Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp.
HD: Tứ giác OBNC nội tiếp có ^OCN+^OBN=1800
b) Chứng minh rằng: NO ⊥ AD
HD: ΔAND có hai đường cao cắt nhau tại O,
suy ra: NO là đường cao thứ ba hay: NO ⊥ AD
c) Chứng minh rằng: CA. CN = CO . CD.
HD: ΔCAO đồng dạng ΔCDN ⇒ CACD=COCN ⇒ CA. CN = CO . CD
d) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: 2AM + AN ≥ 2√2AM.AN (BĐT Cauchy – Côsi)
Ta chứng minh: AM. AN = AB2 = 4R2. (1)
Suy ra: 2AM + AN ≥ 2√2.4R2 = 4R√2
Đẳng thức xẩy ra khi: 2AM = AN Þ AM = AN/2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AM = R√2 ⇒ ΔAOM vuông tại O ⇒ M là điểm chính giữa cung AB
