Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ 2013-2014

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, chuyên Toán Tin trường THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học 2013-2014.

Câu 1 (1,5 điểm)

Cho biểu thức $P=\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}$ với $x\ge 0,\,\,x\ne 1$

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x nguyên dương để P nhận giá trị nguyên.

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x+2y=m\\2x-y=m+1\end{array} \right.$

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho x, y là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng $\sqrt{5}$.

b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình:

${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy+3y-4=0$

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: $\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-9x+9}=2x$

b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2\\xy(x+y)=3x-y\end{array} \right.$

Câu 4 (3,5 điểm)

1) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D là tiếp điểm và C thuộc (O), D thuộc (O’)). Qua B kẻ cát tuyến song song với CD cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của DA và CA với EF. Gọi I là giao điểm của EC và FD. Chứng minh rằng:

a) CD là đường trung trực của đoạn BI.

b) Tam giác IMN cân.

2) Cho A là điểm cố định trên đường tròn (O; R). Gọi AB và AC là hai dây cung thay đổi của đường tròn (O) thỏa mãn $\sqrt{AB.AC}=R\sqrt{3}$. Xác định vị trí của B, C trên (O) để diện tích tam giác ABC lớn nhất.

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: $12\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \right)\le 3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\le \frac{1}{6}$