Thời gian làm bài 120 phút (không kể phát đề).
Đề thi không chuyên:
Hướng dẫn giải:
Đề thi vào lớp chuyên:
Bài 1:(1,75đ) Cho biểu thức : $ P=\left( \frac{a+\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+a+\sqrt{a}+1}+\frac{1}{a+1} \right):\left( \frac{\sqrt{a}-1}{a+1} \right);(0\le a\ne 1)$
1)Rút gọn P ;
2)Tìm tất cả các số tự nhiên a để P có giá trị nguyên
Bài 2 : (2đ)
2.1) Giải phương trình : $ \left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)=24$
2.2) Giải hệ phương trình : $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-4xy+x+4y=2\\{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=-3\end{array} \right.$
Bài 3: (1 đ) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – x – 5 = 0
Lập PT bậc hai có hai nghiệm là 2x1 + x2 và x1 + 2x2.
Bài 4: (1,5đ)
4.1)Giải phương trình nghiệm nguyên : $ {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-2xy-4x+8y+7=0$
4.2)Cho 3 số thực không âm a; b; c . Ch/m rằng:
$ ab\left( {{b}^{2}}+bc+ca \right)+bc\left( {{c}^{2}}+ac+ab \right)+ca\left( {{a}^{2}}+ab+bc \right)\le \left( ab+bc+ca \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho ngũ giác lồi ABCDE có các đỉnh có tọa độ nguyên. Chứng minh rằng : Tồn tại ít nhất một điểm M có toạ độ nguyên nằm trong ngũ giác hoặc trên các cạnh của ngũ giác đó ( không tính các đỉnh A,B,C,D,E)
Bài 6 : cho ABC nhọn . Đường trò (O) đường kính BC cắt AB, AC thứ tự tại M và N. Tia phân giác trong của các góc : BAC , MON cắt nhau ở P
6.1)Chứng minh : $ \widehat{OMN}=\widehat{BAC}$ và tứ giác AMPN nội tiếp
6.2)Gọi Q là giao của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BMP & CNP.
Ch/m: ba điểm B, Q, C thẳng hàng
6.3)Gọi O1, O2, O3 thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác: AMN, BMP, CNP.
Ch/m: 4 điểm O, O1, O2, O3 cùng thuộc một đường tròn.
Đáp án: