Câu 1. (1,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức $ A=\left( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}$ với $ x\ge 0,\,\,x\ne \,1$.
b) Cho $ x=\frac{\left( \sqrt{3}-1 \right).\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}}{\sqrt{21+4\sqrt{5}}+3}$, tính giá trị của biểu thức $ P={{\left( {{x}^{2}}+4x-2 \right)}^{2013}}.$
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho phương trình: $ 2{{x}^{2}}-4mx+2{{m}^{2}}-1=0$ (1), với x là ẩn, m là tham số.
a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là $ {{x}_{1}},{{x}_{2}}.$. Tìm m để $ \displaystyle 2{{x}_{1}}^{2}+4m{{x}_{2}}+2{{m}^{2}}-9<0.$
Câu 3. (1,5 điểm)
a) Cho các số dương x, y thỏa mãn $ x-y={{x}^{3}}+{{y}^{3}}$. Chứng minh rằng $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}<1.$
b) Giải hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x={{y}^{2}}+1\\2y={{z}^{2}}+1\\2z={{x}^{2}}+1\end{array} \right..$
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên một đường tròn;
b) Ba điểm M, N, H thẳng hàng;
c) $ HA.HF={{R}^{2}}-O{{H}^{2}}.$
Câu 5. (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $ \left( x;y;z \right)$ thỏa mãn $ \frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỷ, đồng thời $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$ là số nguyên tố.
b) Tính diện tích của ngũ giác lồi ABCDE, biết các tam giác ABC, BCD, CDE, DEA, EAB cùng có diện tích bằng 1.