Đề thi vào 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá từ năm 2000 tới nay

Toàn bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tại tỉnh Thanh Hóa từ năm 2000 tới năm nay được Toancap2.net tổng hợp lại.

Các em học sinh tự giải đề thi để chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa, các tỉnh khác tham khảo.

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2000 – 2001

Bài 1: (2 Điểm)

a) Tìm các giá trị của a, b biết rằng đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua các điểm A(2; -1) ; B($\displaystyle \frac{1}{2}$; 2)

b) Với giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số y = mx + 3; y = 3x – 7 và đồ thị của hàm số xác định ở câu a đồng quy (Cắt nhau tại một điểm).

Bài 2: (2 Điểm)

Cho phương trình bậc hai:     x² – 2(m+1)x + 2m + 5 = 0

a) Giải phương trình khi m = $\displaystyle \frac{5}{2}$

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm.

Bài 3: (2,5 Điểm)

Cho đường tròn (O) và một đường kính AB của nó. Gọi S là trung điểm của OA, vẽ một đường tròn (S) có tâm là điểm S và đi qua A.

a) Chứng minh đường tròn (O) và đường tròn (S) tiếp xúc nhau.

b) Qua A vẽ đường thẳng Ax cắt các đường tròn (S) và (O) theo thứ tự tại M, Q; đường thẳng Ay cắt các đường tròn (S) và (O) theo thứ tự tại N, F; đường thẳng Az cắt các đường tròn (S) và (O) theo thứ tự tại P, T.

Chứng minh tam giác MNP đồng dạng với tam giác QFT.

Bài 4: (2 Điểm)

Cho hình chóp SABC có tất cả các mặt đều là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của cạnh SA; N là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh MN vuông góc với SA và BC.

b) Tính diệm tích của tam giác MBC theo a.

Bài 5: (1,5 Điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2001 – 2002

Bài 1: (1,5 Điểm) Cho biểu thức: A = $\displaystyle \left( {\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{x}^{3}}-4x}}-\frac{6}{{3x-6}}+\frac{1}{{x+2}}} \right):\left( {x-2+\frac{{10-{{x}^{2}}}}{{x+2}}} \right)$

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tính giá trị của biểu thức A với x = $\displaystyle \frac{1}{2}$

Bài 2: (2 Điểm) Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x – (m +1) = 0
a. Giải phương trình với m = 2

b. Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x₁­, x₂.

a. Tìm m để $\displaystyle \left| {{{x}_{1}}-{{x}_{2}}} \right|$ có giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: (1,5 Điểm) Cho hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+y=1\\mx+y=2m\end{array} \right.$.
a. Giải hệ phương trình với m = 2.
b. Xác định m để hệ phương trình có một nghiệm? Vô nghiệm? Vô số nghiệm?

Bài 4: (2,5 Điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC), với  = 45⁰, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Đường tròn đường kính BC cắt AB ở E, cắt AC ở F.

a. Chứng minh rằng: O thuộc đường tròn đường kính BC.

b. Chứng minh $\displaystyle \Delta AEC$, $\displaystyle \Delta AFB$ là những tam giác vuông cân.

c. Chứng minh tứ giác EOFB là hình thang cân. Suy ra EF = BC$\displaystyle \frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Bài 5: (1,5 Điểm) Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2cm. SA vuông góc với đáy, SA = 2 cm.

a. Tính thể tích của tứ diện.

b. Gọi AM là đường cao, O là trực tâm của tam giác ABC. Gọi H là hình chiếu của O trên SM. Chứng minh rằng OH vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Bài 6: (1 Điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

$\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{{1998}}$

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2002 – 2003

Bµi 1: (1,5 Điểm)

a) Giải phương trình: x² – 6x +5 = 0

b) Tính giá trị của biểu thức: A = $\displaystyle \left( {\sqrt{{32}}-\sqrt{{50}}+\sqrt{8}} \right):\sqrt{{18}}$

Bài 2: (1,5 Điểm)   Cho phương trình     mx² – (2m+1)x + m – 2 = 0    (1), với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình (1):

1. Có nghiệm.

2. Có tổng bình phương các nghiệm bằng 22.

3. Có bình phương của hiệu hai nghiệm bằng 13.

Bài 3: (1 Điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Tính các cạnh của một tam giác vuông biết rằng chu vi của nó là 12cm và tổng bình phương độ dài các cạnh bằng 50.

Bài 4: (1 Điểm)   Cho biểu thức:          B = $\displaystyle \frac{{3{{x}^{2}}+5}}{{{{x}^{2}}+1}}$

a) Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên.

b) Tìm giá trị lớn nhất của B.

Bài 5: (2,5 Điểm)   Cho tam giác ABC cân đỉnh A nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chỉnh giữa các cung nhỏ AB, BC, CA; BP cắt AN tại I; MN cắt AB tại E. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BCPM là hình thang cân; góc ABN có số đo bằng 90⁰.

b) Tam giác BIN cân; EI // BC.

Bài 6: (1,5 Điểm)   Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy là 18cm, độ dài đường cao là 12cm.

1.Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp.

2.Chứng minh đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD).

Bài 7: (1 Điểm)   Giải phương trình:

$\displaystyle {{x}^{4}}+\sqrt{{{{x}^{2}}+2002}}=2002$

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2003 – 2004

Bài 1: (2 Điểm)

1. Giải phương trình: x² – 2x – 1 = 0
2. Giải hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+y=-1\\\frac{1}{x}-\frac{2}{y}=2\end{array} \right.$

Bài 2: (2 Điểm)      Cho biểu thức:  M = $\displaystyle \left[ {\frac{{\left( {\sqrt{x}-2} \right)\left( {\sqrt{x}+1} \right)}}{{\sqrt{x}-1}}-\left( {\sqrt{x}+2} \right)} \right]\frac{{{{{\left( {\sqrt{x}-1} \right)}}^{2}}}}{2}$

1. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa.
2. Rút gọn M.
3. Chứng minh M $\displaystyle \le \frac{1}{4}$

Bài 3: (1,5 Điểm)

Cho phương trình: x² – 2mx + m² – |m| – m = 0       (Với m là tham số)

1. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
2. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x₁² + x₂² = 6

Bài 4: (3,5 Điểm)    Cho B và C là các điểm tương ứng thuộc các cạnh Ax, Ay của góc vuông xAy (B $\displaystyle \ne$A, C $\displaystyle \ne$A). Tam giác ABC có đường cao AH và phân giác BE. Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A lên BE, O là trung điểm của AB.

1. Chứng minh ADHB và CEDH là các tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.
2. Chứng minh AH $\displaystyle \bot$OD và HD là phân giác của góc OHC.
3. Cho B và C di chuyển trên Ax và Ay thoả mãn AH = h (h không đổi). Tính diện tích tứ giác ADHO theo h khi diện tích của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5: (1,5 Điểm) Cho hai số dương x, y thay đổi sao cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\displaystyle \left( {1-\frac{1}{{{{x}^{2}}}}} \right)\left( {1-\frac{1}{{{{y}^{2}}}}} \right)$

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2004 – 2005

Bài 1: (2 Điểm)

1. Giải phương trình: x² – 3x – 4 = 0
2. Giải hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2(x-y)+3y=1\\3x+2(x-y)=7\end{array} \right.$

Bài 2: (2 Điểm)      Cho biểu thức:  B = $\displaystyle \left( {\frac{{\sqrt{a}+2}}{{a+2\sqrt{a}+1}}-\frac{{\sqrt{a}-2}}{{a-1}}} \right).\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}}}$

1. Tìm điều kiện của a để biểu thức B có nghĩa.
2. Chứng minh B = $\displaystyle \frac{2}{{a-1}}$

Bài 3: (2 Điểm)

Cho phương trình: x² – (m+1)x + 2m – 3 = 0       (Với m là tham số)

1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình sao cho hệ thức đó không phụ thuộc m.

Bài 4: (3 Điểm)    Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C. Gọi AH và BK là các đường cao của tam giác; M, N, P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A, K, H, B xuống đường thẳng d.

1. Chứng minh rằng: tứ giác AKHB nội tiếp và tứ giác HKNP là hình chữ nhật.
2. Chứng minh rằng: $\displaystyle \angle$HMP = $\displaystyle \angle$HAC, $\displaystyle \angle$HMP = $\displaystyle \angle$KQN.
3. Chứng minh rằng: MP = QN

Bài 5: (1 Điểm)     Cho 0 < x < 1

1. Chứng minh rằng: x( 1 – x ) $\displaystyle \le$ $\displaystyle \frac{1}{4}$
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = $\displaystyle \frac{{4{{x}^{2}}+1}}{{{{x}^{2}}(1-x)}}$

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2005 – 2006

Bµi 1: (2 Điểm)      Cho biểu thức:  A = $\displaystyle \frac{{\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}-1}}-\frac{{\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}+1}}+\frac{2}{{a-1}}$

1. Tìm điều kiện của a để biểu thức A có nghĩa.
2. Chứng minh A = $\displaystyle \frac{2}{{\sqrt{a}-1}}$
3. Tìm a để A < -1

Bài 2: (2 Điểm)

1. Giải phương trình: x² – x – 6 = 0
2. Tìm a để phương trình: x² – (a – 2)x – 2a = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thoả mãn điều kiện: 2x₁ + 3x₂ = 0

Bài 3: (1,5 Điểm)

Tìm hai số thực dương a, b sao cho điểm M có toạ độ (a; b² + 3) và điểm N có toạ độ ($\displaystyle \sqrt{{ab}}$; 2) cùng thuộc đồ thị của hàm số y = x²

Bài 4: (3 Điểm)    Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Đường tròn (O) đường kính HC cắt cạnh AC tại N. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại điểm N cắt cạnh AB tại điểm M. Chứng minh rằng:

1. HN // AB và tứ giác BMNC nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
3. $\displaystyle {{\left( {\frac{{MN}}{{MH}}} \right)}^{2}}=1+\frac{{NC}}{{NA}}$

Bài 5: (1 Điểm)     Cho a, b là các số thực thoả mãn điều kiện a + b $\displaystyle \ne$ 0

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2006 – 2007

Bµi 1: (1,5 Điểm)      Cho biểu thức:  A = $\displaystyle \left( {3+\frac{{a+\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}+1}}} \right)\left( {3-\frac{{a-5\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}-5}}} \right)$

1. Tìm các giá trị của a để biểu thức A có nghĩa.
2. Rút gọn A

Bài 2: (1,5 Điểm)

Giải phương trình:           $\displaystyle \frac{6}{{{{x}^{2}}-9}}=1+\frac{1}{{x-3}}$

Bài 3: (1,5 Điểm)

Giải hệ phương trình:     $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}5(3x+y)=3y+4\\3-x=4(2x+y)+2\end{array} \right.$

Bài 4: (1 Điểm)

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau vô nghiệm:

x² – 2mx + m|m| + 2 = 0

Bài 5: (1 Điểm)    Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2cm, AD = 3cm. Quay hình chữ nhật đó quanh AB thì được một hình trụ. Tính thể tích hình trụ đó.

Bài 6: (2,5 Điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, Góc B gấp đôi góc C và AH là đường cao. Gọi M là trung điểm của cạnh AC, các đường thẳng MH, AB cắt nhau tại điểm N. Chứng minh rằng:

1. Tam giác MHC cân.
2. Tứ giác NBMC nội tiếp được trong một đường tròn.
3. 2MH² = AB² + AB.BH

Bài 7: (1 Điểm)     Chứng minh rằng với a > 0 ta có:

$\displaystyle \frac{a}{{{{a}^{2}}+1}}+\frac{{5({{a}^{2}}+1)}}{{2a}}\ge \frac{{11}}{2}$

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2007 – 2008

Bài 1: (2 Điểm)

1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = a + ax + x + 1
2. Giải phương trình: x² – 3x + 2 = 0

Bài 2: (2 Điểm)

1. Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 18cm, AC = 2cm. Quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh góc vuông AB cố định, ta được một hình nón. Tính thể tích hình nón đó .
2. Chứng minh rằng với a $\displaystyle \ge$ 0; a $\displaystyle \ne$1 ta có: $\displaystyle \left( {1+\frac{{a+\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}+1}}} \right)\left( {1-\frac{{a-\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}-1}}} \right)=1-a$

Bài 3: (2 Điểm)

1. Biết rằng phương trình x² – 2(a+1)x + a² + 2 = 0 (Với a là tham số) có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại của phương trình này.
2. Giải hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x+2}}+\frac{1}{{y+2}}=1\\\frac{8}{{x+2}}-\frac{5}{{y+2}}=1\end{array} \right.$

Bài 4: (3 Điểm)    Cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao CH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt cạnh AC tại điểm M (M $\displaystyle \ne$A), đường tròn tâm O’ đường kính BH Cắt cạnh BC tại điểm N (N $\displaystyle \ne$ B). Chứng minh rằng:

1. Tứ giác CMHN là hình chữ nhật.
2. Tứ giác AMNB nội tiếp được trong một đường tròn.
3. MN là tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính AH và đường tròn đường kính OO’.

Bài 5: (1 Điểm)

Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điều kiện: a + b = 2005. Tìm giá trị lớn nhất của tích ab.

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2008 – 2009

Bài 1: (2 Điểm)   Cho hai số   x₁ = 2 – $\displaystyle \sqrt{3}$  ,    x₂ = 2 + $\displaystyle \sqrt{3}$

1. Tính x₁ + x₂ và x₁x₂
2. Lập phương trình bậc hai ẩn x nhận x₁, x₂ là hai nghiệm.

Bài 2: (2,5 Điểm)

1. Giải hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x+4y=7\\2x-y=1\end{array} \right.$
2. Rút gọn biểu thức: A = $\displaystyle \left( {\frac{{a-1}}{{\sqrt{a}-1}}-\frac{1}{{\sqrt{a}+1}}} \right)\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}+2}}$ Với   $\displaystyle a\ge 0;a\ne 1$

Bài 3: (1 Điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d):  y = (m² – m)x + m và đường thẳng (d’):  y = 2x + 2. tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’)

Bài 4: (3,5 Điểm)

Trong mặt phẳng cho đường tròn (O), AB là dây cung không đi qua tâm của đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của dây cung AB, M là một điểm trên cung lớn AB (M không trùng với A, B). Vẽ đường tròn (O’) đi qua m và tiếp xúc với đường thẳng AB tại A. Tia MI cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai N và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai C.

1. Chứng minh $\displaystyle \Delta$BIC = $\displaystyle \Delta$AIN, từ đó chứng minh tứ giác ANBC là hình bình hành.
2. Chứng minh rằng BI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN..
3. Xác định vị trí của điểm M trên cung lớn AB để diện tích tứ giác ANBC lớn nhất.

Bài 5: (1 Điểm)     Tìm nghiệm dương của phương trình:

$\displaystyle {{\left( {1+x-\sqrt{{{{x}^{2}}-1}}} \right)}^{{2005}}}+{{\left( {1+x+\sqrt{{{{x}^{2}}-1}}} \right)}^{{2005}}}={{2}^{{2006}}}$

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2009 – 2010

Bài 1: (1,5 Điểm)   Cho phương trình: x² – 4x + q = 0  (1)   với q là tham số

1. Giải phương trình (1) khi q = 3
2. Tìm q để phương trình (1) có nghiệm.

Bài 2: (1,5 Điểm)       Giải hệ phương trình:     $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x+y=5\\x+2y=7\end{array} \right.$

Bài 3: (2,5 Điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P):    y = x² và điểm D(0;1).

1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm D(0;1) và có hệ số góc k.
2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt G và H với mọi k.
3. Gọi hoành độ của hai điểm G và H lần lượt là x₁ và x₂. Chứng minh rằng: x₁.x₂ = -1, từ đó suy ra tam giác GOH là tam giác vuông.

Bài 4: (3,5 Điểm)      Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K (khác với điểm B). Từ các điểm K, A và B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ điểm K cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B lần lượt tại C và D.

1. Gọi Q là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ K tới nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác BDQO nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minh tam giác BKD đồng dạng với tam giác AKC, từ đó suy ra $\displaystyle \frac{{CQ}}{{CK}}=\frac{{DQ}}{{DK}}$.
3. Đặt $\displaystyle \angle$BOD = $\displaystyle \alpha$. Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và $\displaystyle \alpha$. Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc vào R, không phụ thuộc vào $\displaystyle \alpha$.

Bài 5: (1 Điểm)     Cho các số thực t, u, v thoả mãn: u² + uv + v² = 1- $\displaystyle \frac{{3{{t}^{2}}}}{2}$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   D = t + u + v

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2010 – 2011

Bài 1: (2 Điểm)   Cho phương trình: x² + px – 4 = 0  (1)   với p là tham số

1. Giải phương trình (1) khi p = 3
2. Giả sử x₁, x₂ là các nhiệm của phương trình (1), tìm p để:

x₁(x₂² + 1) +  x₂(x₁² + 1) > 6

Bài 2: (2 Điểm)

Cho biểu thức   C  = $\displaystyle \left( {\frac{{\sqrt{c}+3}}{{\sqrt{c}-3}}-\frac{{\sqrt{c}-3}}{{\sqrt{c}+3}}} \right)\left( {\frac{1}{3}-\frac{1}{{\sqrt{c}}}} \right)$         với  $\displaystyle c>0;c\ne 9$

1. Rút gọn C.
2. Tìm c để biểu thức C nhận giá trị nguyên.

Bài 3: (2 Điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x² và các điểm C, D thuộc parabol (P) với x_C  = 2, x_D  = -1.

1. Tìm toạ độ các điểm C, D và viết phương trình đường thẳng CD.
2. Tìm q để đường thẳng (d): y = (2q² – q)x + q + 1 (với q là tham số) song song với đường thẳng CD.

Bài 4: (3 Điểm)

Cho tam giác BCD có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao CM, DN của tam giác cắt nhau tại H.

1. Chứng minh tứ giác CDMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
2. Kéo dài BO cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh tứ giác CHDK là hình bình hành.
3. Cho cạnh CD cố định, B thay đổi trên cung lớn CD sao cho tam giác BCD luôn nhọn. Xác định vị trí điểm B để diện tích tam giác CDH lớn nhất.

Bài 5: (1 Điểm)     Cho u, v là các số dương thoả mãn u + v = 4.

Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = u² + v² + $\displaystyle \frac{{33}}{{uv}}$

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2011 – 2012

Bài 1: (1,5 Điểm)

1. Cho hai số x₁ = 1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ,    x₂ = 1 – $\displaystyle \sqrt{2}$   Tính x₁ + x₂
2. Giải hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y=1\\2x-y=-3\end{array} \right.$

Bài 2: (2 Điểm)

Cho biểu thức   C  = $\displaystyle \left( {\frac{{\sqrt{c}}}{{\sqrt{c}+2}}-\frac{{\sqrt{c}}}{{\sqrt{c}-2}}+\frac{{4\sqrt{c}-1}}{{c-4}}} \right):\frac{1}{{\sqrt{c}+2}}$         với  $\displaystyle c\ge 0;c\ne 4$

1. Rút gọn C.
2. Tính giá trị của C tại $\displaystyle c=6+4\sqrt{2}$.

Bài 3: (2,5 Điểm)

Cho phương trình     x² – (2p – 1)x + p(p – 1) = 0   (1) (Với p là tham số)

1. Giải phương trình (1) với p = 2
2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi p.
3. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1) (với x₁ < x₂)

Chứng minh:   x₁² – 2x₂ +3 $\displaystyle \ge$ 0

Bài 4: (3 Điểm)

Cho tam giác CDE có ba góc nhọn, các đường cao DK, EF của tam giác cắt nhau tại H.

1. Chứng minh tứ giác CFHK là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
2. Chứng minh $\displaystyle \Delta$ CFK và $\displaystyle \Delta$CED đồng dạng.
3. Kẻ tiếp tuyến Kz tại K của đường tròn tâm O đường kính DE cắt CH tại Q. Chứng minh Q là trung điểm của CH.

Bài 5: (1 Điểm)     Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức

$\displaystyle \sqrt{{\frac{a}{{b+c}}}}+\sqrt{{\frac{b}{{a+c}}}}+\sqrt{{\frac{c}{{b+a}}}}>2$

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2012 – 2013

Bài 1: (2.0 điểm) 

1– Giải các phương trình sau :

1. a) x – 1 = 0 .
2. b) x² – 3x + 2 = 0

2- Giải hệ  phương trình : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x-y=7} \\ {x+y=2} \end{array}} \right.$

Bài 2: (2.0 điểm)  Cho biẻu thức : A = $\frac{1}{{2+2\sqrt{a}}}$+ $\frac{1}{{2-2\sqrt{a}}}$ –$\frac{{{{a}^{2}}+1}}{{1-{{a}^{2}}}}$

1-    Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

2-    Tìm giá trị của a ; biết  A < $\frac{1}{3}$

Bài 3: (2.0 điểm) 

          1- Cho đường thẳng (d) : y = ax + b .Tìm a; b để  đường thẳng (d) đi qua điểm A( -1 ; 3) và song song với đường thẳng (d’) : y = 5x + 3

2- Cho phương trình ax² + 3(a + 1)x + 2a + 4 = 0 ( x là ẩn số ) .Tìm a để phươmg trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁ ; x₂ thoả mãn $x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$ = 4

Bài 4: (3.0 điểm)  Cho tam tam giác đều ABC có đường cao AH . Trên cạnh BC lấy điểm M

bất kỳ ( M không trùng B ; C; H ) Từ M kẻ MP ; MQ lần lượt vuông góc với các cạnh AB ; AC ( P thuộc AB ; Q thuộc AC)

1- Chứng minh :Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn

2- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác  APMQ .Chứng minh OH $\bot$ PQ

3- Chứng minh  rằng : MP +MQ = AH

Bài 5: (1.0 điểm)  Cho hai số thực a; b thay đổi , thoả mãn điều kiện  a + b $\ge$ 1 và  a > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    A = $\frac{{8{{a}^{2}}+b}}{{4a}}+{{b}^{2}}$

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2013 – 2014

Câu 1 (2.0 điểm):

1. Cho phương trình bậc hai: x² +2x – 3 = 0, với các hệ số a = 1, b = 2, c = -3

a.Tính tổng: S = a + b + c

b.Giải phương trình trên

2. Giải hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x-3y=2\\2x+3y=4\end{array} \right.$

Câu 2 (2.0 điểm):

Cho biểu thức: $\displaystyle Q=\,\left( {\frac{1}{{y-\sqrt{y}}}\,+\,\frac{1}{{\sqrt{y}-1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt{y}+1}}{{y-2\sqrt{y}+1}}} \right)$( Với y > 0; $\displaystyle y\,\ne \,1$)

1. Rút gọn biểu thức Q
2. Tính giá trị biểu thức Q khi $\displaystyle y=3-2\sqrt{2}$

Câu 3 (2.0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2bx + 1 và Parabol (P): y = – 2x².

1. Tìm b để đường thẳng (d) đi qua điểm B(1;5)
2. Tìm b để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn điều kiện: x₁² + x₂² + 4(x₁ + x₂) = 0.

Câu 4 (3.0 điểm): Cho (O; R) đường kính EF. Bán kính OI vuông góc với EF, gọi J là điểm bất kỳ trên Cung nhỏ EI (J khác E và I), FJ cắt EI tại L; Kẻ LS vuông góc với EF (S thuộc EF).

1. Chứng minh tứ giác IFSL nộ tiếp.
2. Trên đoạn thẳng FJ lấy điểm N sao cho FN = EJ. Chứng minh rằng, tam giác IJN vuông cân.
3. Gọi (d) là tiếp tuyến tại điểm E. Lấy D là điểm nằm trên (d) sao cho hai điểm D và I cùng nằm trên cùng một nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng FE và ED.JF = JE.OF. Chứng minh rằng đường thẳng FD đi qua trung điểm của đoạn thẳng LS.

Câu 5 ( 1.0 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca $\displaystyle \ge$ 3.

Chứng minh rằng: $\displaystyle \frac{{{{a}^{4}}}}{{b\,+\,3c}}\,+\frac{{{{b}^{4}}}}{{c\,+\,3a}}+\frac{{{{c}^{4}}}}{{a\,+\,3c}}\,\ge \,\frac{3}{4}$

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2014 – 2015

Câu 1: (2,0 điểm)

1. Giải các phương trình:

a. x – 2 = 0

b. x² – 6x + 5 = 0

2. Giải hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x-2y=4\\x+2y=4\end{array} \right.$

Câu 2: (2,0 điểm) Cho biểu thức:  $\displaystyle A=\frac{{\sqrt{x}-1}}{{{{x}^{2}}-x}}:\left( {\frac{1}{{\sqrt{x}}}-\frac{1}{{\sqrt{x}+1}}} \right)$ với x > 0, x ≠ 1.

1. Rút gọn A.
2. Tính giá trị của biểu thức A khi $\displaystyle x=4+2\sqrt{3}$

Câu 3: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx – 3  tham số m  và Parabol (P): y = x².

1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0).
2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoàng độ lần lượt là x₁, x₂ thỏa mãn |x₁ – x₂| = 2

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA; qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K ( K khác B và M), trên tia KN lấy điểm I sao cho KI = KM. Gọi H là giao điểm của AK và MN. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.
2. AK.AH = R²
3. NI = BK

Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$\displaystyle Q=\frac{1}{{x+y+1}}+\frac{1}{{y+z+1}}+\frac{1}{{z+x+1}}$

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2015 – 2016

Câu 1 (2 điểm) :

1. Giải phương trình mx² + x – 2 = 0

a) Khi m = 0

b) Khi m = 1

2. Giải hệ phương trình:

Câu 2 (2 điểm): Cho biểu thức $\displaystyle Q=\frac{4}{{\sqrt{b}-1}}+\frac{3}{{\sqrt{b}+1}}-\frac{{6\sqrt{b}+2}}{{b-1}}$  (Với b ≥ 0 và b ≠ 1)

1. Rút gọn Q

2. Tính giá trị của biểu thức Q khi $\displaystyle b=6+2\sqrt{5}$

Câu 3 (2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = x + n – 1 và parabol (P) : y = x²

1. Tìm n để (d) đi qua điểm B(0;2)

2. Tìm n để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x₁, x₂ thỏa mãn:

$\displaystyle 4\left( {\frac{1}{{{{x}_{1}}}}+\frac{1}{{{{x}_{2}}}}} \right)-{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3=0$

Câu 4 (3 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) không đi qua O, cắt đường tròn (O) tại 2 điểm E, F. Lấy điểm M bất kì trên tia đối FE, qua M kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm).

1. Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn.

2. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh KM là phân giác của góc CKD.

3. Đường thẳng đi qua O và vuông góc với MO cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại R, T. Tìm vị trí của điểm M trên (d) sao cho diện tích tam giác MRT nhỏ nhất.

Câu 5 (1 điểm): Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện:

5x² + 2xyz + 4y² + 3z² = 60

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z.

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2016 – 2017

Câu I: (2,0 điểm)

1. Giải các phương trình:

a) x – 6 = 0

b) x² – 5x + 4 = 0

2. Giải hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x-y=3\\3x+y=2\end{array} \right.$

Câu II: (2,0 điểm)

Cho biểu thức: $\displaystyle A=\left( {\frac{{y\sqrt{y}-1}}{{y-\sqrt{y}}}-\frac{{y\sqrt{y}+1}}{{y+\sqrt{y}}}} \right):\frac{{2\left( {y-2\sqrt{y}+1} \right)}}{{y-1}}$ với y > 0; y ≠ 1

1. Rút gọn biểu thức B.

2. Tìm các số nguyên y để biểu thức B khi có giá trị nguyên.

Câu III: (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = nx + 1 và Parabol (P): y = 2x².

1. Tìm n để đường thẳng (d) đi qua điểm B(1; 2).

2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoàng độ lần lượt M(x_1; y₁), N(x₂; y₂). Hãy tính giá trị của biểu thức S = x₁x₂ + y₁y₂

Câu IV: (3,0 điểm)

Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn đường kính MQ. Hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại E. Gọi F là điểm thuộc đường thẳng MQ sao cho EF vuông góc với MQ. Đường thẳng PF  cắt đường tròn đường kính MQ tại điểm thứ 2 là K. Gọi L là giao điểm của NQ và PF. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác PEFQ nội tiếp đường tròn.

2. FM là đường phân giác của góc $\displaystyle \widehat{{NFK}}$

3. NQ.LE= NE.LQ

Câu V: (1,0 điểm)

Cho các số dương m, n, p thỏa mãn: m² + 2n² ≤ 3 . Chứng minh rằng: $\displaystyle \frac{1}{m}+\frac{2}{n}\ge \frac{3}{p}$

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hoá năm học 2017 – 2018

Câu I: (2,0 điểm)

1. Cho phương trình : $\displaystyle n{{x}^{2}}+x-2=0$ (1), với n là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi n=0.

b) Giải phương trình (1) khi n = 1.

2. Giải hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x-2y=6\\x+2y=10\end{array} \right.$

Câu II: (2,0 điểm)

Cho biểu thức $\displaystyle A=\left( {\frac{{4\sqrt{y}}}{{2+\sqrt{y}}}+\frac{{8y}}{{4-y}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt{y}-1}}{{y-2\sqrt{y}}}-\frac{2}{{\sqrt{y}}}} \right)$, với $\displaystyle y>0,y\ne 4,y\ne 9$.

1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tìm y để $\displaystyle A=-2$.

Câu III: (2,0điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): $\displaystyle y=2x-n+3$ và parabol (P): $\displaystyle y={{x}^{2}}.$

1. Tìm n để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;0).

2. Tìm n để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $\displaystyle {{x}_{1}}^{2}-2{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}=16$.

Câu IV:(3,0 điểm)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính $\displaystyle MN=2R$. Gọi (d) là tiếp tuyến của (O) tại N. Trên cung MN lấy điểm E tùy ý (E không trùng với M và N), tia ME cắt (d) tại điểm F. Gọi P là trung điểm của ME, tia PO cắt (d) tại điểm Q.

1. Chứng minh ONFP là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh: $\displaystyle OF\bot MQ$ và $\displaystyle PM.PF=PO.PQ$.
3. Xác định vị trí điểm E trên cung MN để tổng $\displaystyle MF+2ME$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu V:(1,0 điểm)

Cho $\displaystyle a,b,c$ là các số dương thay đổi thỏa mãn: $\displaystyle \frac{1}{{a+b}}+\frac{1}{{b+c}}+\frac{1}{{c+a}}=2017$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\displaystyle P=\frac{1}{{2a+3b+3c}}+\frac{1}{{3a+2b+3c}}+\frac{1}{{3a+3b+2c}}.$