Giải hệ phương trình quy về bậc nhất

Tham khảo ví dụ dưới đây về cách giải hệ phương trình quy về bậc nhất từ đó áp dụng vào giải các bài tương tự.

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3\\\frac{3}{x}-\frac{2}{y}=-1\end{array} \right.$

b)   $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{x+1}}-\frac{y}{{y-1}}=3\\\frac{x}{{x+1}}+\frac{{3y}}{{y-1}}=-1\end{array} \right.$

c) $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{2x-1}}+\frac{1}{{\sqrt{{x-y}}}}=2\\2\sqrt{{2x-1}}-\frac{1}{{\sqrt{{x-y}}}}=1\end{array} \right.$

Lời giải:

a) Đặt $u=\frac{1}{x};v=\frac{1}{y}$. Theo đề bài ra ta có hệ phương trình:
$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u+v=3\\3u-2v=-1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v=3-u\\3u-2\left( {3-u} \right)=-1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5u=5\\v=3-u\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u=1\\v=2\end{array} \right.\\\end{array}$

Từ đó suy ra:  $x=\frac{1}{u}=1;$  $y=\frac{1}{v}=\frac{1}{2}$.

b) Đặt $u=\frac{x}{{x+1}};v=\frac{y}{{y-1}}$. Theo bài ra ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}u-v=3\\u+3v=-1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u=3+v\\3+v+3v=-1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u=3+v\\4v=-4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u=2\\v=-1\end{array} \right.$.

Từ đó suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{x+1}}=2\\\frac{y}{{y-1}}=-1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2x+2\\y=1-y\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=-2\\y=\frac{1}{2}\end{array} \right.$.

c). Điều kiện $\displaystyle \text{x}\ge \frac{1}{2},x-y>0$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}a=\sqrt{{2x-1}}\\b=\frac{1}{{\sqrt{{x-y}}}}\end{array} \right.$  ta có hệ phương trình mới
$\left\{ \begin{array}{l}a+b=2\\2a-b=1\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=1\\b=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{2x-1}}=1\\\frac{1}{{\sqrt{{x-y}}}}=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=0\end{array} \right.$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x=1;y=0$