Mở rộng một số bất đẳng thức

Đây là bài thứ 8 of 15 trong series Chuyên đề: Bất đẳng thức THCS

Việc mở rộng một BĐT giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về BĐT đó và đồng thời có tác dụng trong việc phát triển tư duy, cũng như óc tìm tòi sáng tạo của học sinh.

Việc làm này nên làm thường xuyên ngay trong quá trình dạy.

Ví dụ 1:

Cho a và b là hai số dương. Chứng minh: $\displaystyle \left( a+b \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\ge 4$

Mở rộng: Cho n số dương $\displaystyle {{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{n}}$. Chứng minh rằng:

$\displaystyle \left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}} \right)\left( \frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+..+\frac{1}{{{a}_{n}}} \right)\ge {{n}^{2}}$

* Gợi ý: Dùng BĐT Cô si  để giải

Ví dụ 2:

Cho a và b là hai số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: $\displaystyle \left( a+1 \right)\left( b+1 \right)\ge 2$

Mở rộng:

Cho n số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:

a) $\left( {{a}_{1}}+1 \right)\left( {{a}_{2}}+1 \right)…\left( {{a}_{n}}+1 \right)\ge {{2}^{n}}$

b) $\displaystyle \left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} \right)\left( {{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)\left( {{a}_{3}}+{{a}_{4}} \right)..\left( {{a}_{n}}+{{a}_{1}} \right)\ge {{2}^{n}}$

Gợi ý : Dùng BĐT Cô si cô hai số dương để giải

Ví dụ 3:

Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

${{\left( a+\frac{1}{b} \right)}^{2}}+{{\left( b+\frac{1}{a} \right)}^{2}}\ge \frac{25}{2}$

Mở rộng:

Cho n số dương $\displaystyle {{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{n}}$ có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

a) $\displaystyle {{\left( {{a}_{1}}+\frac{1}{{{a}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{2}}+\frac{1}{{{a}_{3}}} \right)}^{2}}+..+{{\left( {{a}_{n}}+\frac{1}{{{a}_{1}}} \right)}^{2}}\ge {{\left( \frac{{{n}^{2}}+1}{n} \right)}^{2}}$

b) $\displaystyle {{\left( {{a}_{1}}+\frac{1}{{{a}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{2}}+\frac{1}{{{a}_{2}}} \right)}^{2}}+..+{{\left( {{a}_{n}}+\frac{1}{{{a}_{n}}} \right)}^{2}}\ge {{\left( \frac{{{n}^{2}}+1}{n} \right)}^{2}}$

* Gợi ý : Dùng BĐT Bunhiacốpxki để giải

Ví dụ 4:

Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 2. Chứng minh rằng: a⁴ + b⁴ ≥ a³ + b³

Mở rộng:

1/ Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 2.

Chứng minh rằng: aⁿ + bⁿ ≥ a^n-1 + b^n-1      (với n là số tự nhiên chẵn và khác 0)

* Gợi ý : áp dụng cách giải 2 của ví dụ 2 bài 1 phần một số BĐT thường gặp

2/ a) Cho n số thực $\displaystyle {{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{n}}$ thoả mãn $\displaystyle {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}}=n$.

Chứng minh rằng: $\displaystyle {{a}_{1}}^{4}+{{a}_{2}}^{4}+..+{{a}_{n}}^{4}\ge {{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+..+{{a}_{n}}^{3}$

b) Cho n số thực $\displaystyle {{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{n}}$ thoả mãn $\displaystyle {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}}\ge n$

Chứng minh rằng: $\displaystyle {{a}_{1}}^{4}+{{a}_{2}}^{4}+..+{{a}_{n}}^{4}\ge {{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+..+{{a}_{n}}^{3}$

*Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp

Ví dụ 5:

Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b ≥ 1 . Chứng minh rằng: $\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}$

Mở rộng:

Cho n số thực $\displaystyle {{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{n}}$ thoả mãn $\displaystyle {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}}=\frac{n}{2}$.

Chứng minh rằng:  $\displaystyle {{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+..+{{a}_{n}}^{2}\ge \frac{n}{4}$

* Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp