Ôn tập toán hình học lớp 9 học kì 1: Đường tròn – Cung – Dây

Danh mục: Bồi dưỡng Toán 9 , Hình học 9 , Toán 9

Các em học sinh lớp 9 ôn tập học kì 1 phần hình học với các dạng bài tập: Đường tròn – Cung – Dây qua các bài tập có lời giải dưới đây.

Sau khi xem xong các bài tập có lời giải, các em hãy tự làm bài tập ngay bên dưới để rèn luyện khả năng làm bài của mình.

BÀI 1 :

Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh :

AH vuông góc BC (tại F thuộc BC).
FA.FH = FB.FC.
bốn điểm A, E, H, D cùng nằm trên một đường tròn , xác định tâm I của đường tròn này.
IE là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Giải.

1. AH vuông góc BC :

Δ DBC nt (O) đường kính BC (gt)

=> Δ DBC vuông tại D

=> BD $\bot$ CD hay BD $\bot$ AC.

Cmtt : CE $\bot$ AB

Xét tam giác ABC có :

CE $\bot$ AB (cmt) => CE đường cao thứ nhất.

BD $\bot$ AC (cmt) => BD đường cao thứ hai.

hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

= > H là trực tâm của tam giác ABC

= > AH là đường cao thứ ba.

= > AH $\bot$ BC tại F.

2. FA.FH = FB.FC :

Xét ? FAB và ? FCH, ta có :

$\widehat{BFA} =\widehat{CFH} =90^0$ (cmt)

$\widehat{A_1} \widehat{ABC} =90^0$ (? FAB vuông tại F)

$\widehat{C_1} \widehat{ABC} =90^0$ (? FAC vuông tại F)

=> $\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$ (1)

=> ? FAB đồng dạng ? FCH

=> $\frac{FA}{FC} =\frac{FB}{FH}$

=> FA.FH = FB.FC

3.A, E, H, D nằm trên đường tròn

Xét ΔAEH vuông tại E (gt)

= > ΔAEH nội tiếp đường tròn đường kính AH (1).

Hay A, E, H nằm trên đường tròn đường kính AH(1).

Xét ΔADH vuông tại D (gt)

= > ΔADH nội tiếp đường tròn đường kính AH

Hay A, D, H nằm trên đường tròn đường kính AH(2).

Từ (1) và (2) : A, E, H, D nằm trên đường tròn đường kính AH .

Suy ra : tâm I là trung điểm AH.

4. IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xét Δ AEI, ta có : IA = IE (bán kính)

=> Δ AEI cân tại I

=> $\widehat{A_1}=\widehat{E_1}$ (2)

Cmtt, ta được : $\widehat{C_1}=\widehat{E_3}$ (3)

Từ (1), (2) và (3), ta được : $\widehat{E_1}=\widehat{E_3}$

Mà : : $\widehat{E_1} \widehat{E_2}=90^0$

=> $\widehat{E_3} \widehat{E_2}=90^0$

Hay : $\widehat{IEO}=90^0$

=> IE $\bot$ EO tại E

Mà : E thuộc (O)

Vậy : IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

—————————————————————————————-

BÀI 2 :

Trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O; R) lấy điểm M. gọi điểm B của đường tròn (O; R) sao cho MB = MA

Chứng minh : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Cho OM = 2R. chứng minh : tam giác ABC đều. tính độ dài và các cạnh và diện tích của tam giác AMB theo R.
Vẽ đường kính BE của (O). chứng minh : AE // OM.

Giải.

1. MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Xét ΔAOM và ΔBOM, ta có : Ôn tập toán hình học lớp 9 học kì 1: Đường tròn – Cung – Dây

MA = MB (gt)

OA = OB (bán kính)

OM cạnh chung.

=> ?AOM = ?BOM

=> $\widehat{MBO} =\widehat{MAO}$

Mà : $\widehat{MAO}=90^0$ (MA tiếp tuyến của (O))

=> $\widehat{MBO} =90^0$

Hay MB $\bot$ OB tại B

Mà : điểm B của đường tròn (O; R)

Vậy : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

2. OM = 2R :

Xét ?AOM vuông tại A, ta có :

sin OMA = OA : OM = ½

=> $\widehat{OMA} = 30^0$

Mặt khác : $\widehat{AMB} =2\widehat{OMA} = 60^0$ (tính chất hai tt cắt nhau)

Xét ?ABM, ta có : MA = MB (gt)

=> ?ABM cân tại M

Mà : $\widehat{AMB} = 60^0$ (cmt)

=> ?ABM đều.

Xét ? vuông tại A, theo định lí ta có :

OM² = MA² 0B²

(2R)² = MA² R²

=> MA = $R \sqrt{3}$

Diện tích S_AOM = MA². $\frac{\sqrt{3} }{2}$ = $\frac{3\sqrt{3}R^2 }{2}$ (dvdt)

3. chứng minh : AE // OM :

ta có :

MA = MB (gt)

OA = OB (bán kính)

=> MO là đường trung trực AB

=> OM $\bot$ AB (1)

Xét ?ABE nội tiếp (O), có : BE là đường kính

=> ?ABE vuông tại A

=> AE $\bot$ AB (2)

Từ (1) và (2) => AE // OM.

———————————————————————————-

Bài 3 :

Cho nữa đường tròn (O; R) có đường kính AB. tiếp tuyến tại điểm M trên nữa đường tròn lần lượt cắt hai tiếp tuyến tại A và B ở C và D.

1. Chứng minh : AC+ DB = CD.

2. Chứng minh : tam giác COD vuông và AC.BD = R².

3. OC cắt AM tại E và OD cắt BM tại F. chứng minh :

a. Tứ giác OEMF là hình chữ nhật.

b. OE.OC = OF.OD = R².

c. EF $\bot$ BD.

d. Chứng minh : AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.

e. AD cắt BC tại N. chứng minh : MM // AC.

Giải.

1. Chứng minh : AC + DB = CD.

Ta có :

CA = CM (tính chất hai tt cắt nhau) Ôn tập toán hình học lớp 9 học kì 1: Đường tròn – Cung – Dây

DB = DM (tính chất hai tt cắt nhau)

CD = CM MD

=> AC DB = CD.

2. tam giác COD vuông và AC.BD = R².

Ta có :

OD là tia phân giác góc BOM (tính chất hai tt cắt nhau)

OC là tia phân giác góc COM (tính chất hai tt cắt nhau)

Mà : góc BOM và góc COM kề bù.

=> OC $\bot$ OD tại O.

Hay ΔCOD vuông tại O.

Trong ΔCOD vuông tại O, có đường cao OM. hệ thức lượng :

MC.MD = OM² = R²

Hay : AC.BD= R² (CA = CM và DB = DM)

3.a Tứ giác OEMF là hình chữ nhật :

Ta có :

CA = CM (cmt)

OA = OM ( bán kính)

=> CO là đường trung trực của AM

=> CO ⊥ AM tại E, EA = EM

=> $\widehat{MEO} =90^0$

Cmtt , ta được : $\widehat{MFO} =90^0$

Tứ giác OEMF, ta có :

$\widehat{MEO} =\widehat{MFO}=\widehat{FOE}=90^0$ (cmt)

=> Tứ giác OEMF là hình chữ nhật.

Trong ΔCOM vuông tại M, có đường cao ME. hệ thức lượng :

OC. OE = OM² = R²

Cmtt : OD. OF = OM² = R²

=> OE.OC = OF.OD = R².

EF $\bot$ BD.

Xét ΔABM, ta có :

EA = EM (cmt)

FB = FM (cmt)

=> EF là đường trung bình

=> EF // AB

Mà AB $\bot$ BD (tính chất tt)

=> EF $\bot$ BD.

3.d AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.

trong ΔCOD vuông tại O (cmt) Ôn tập toán hình học lớp 9 học kì 1: Đường tròn – Cung – Dây

=> ΔCOD nội tiếp đường tròn (I) đường kính CD

=> IC = ID.

Mặt khác : CA // BD (cùng vuông góc AB)

=>Tứ giác ABDC là hình thang.

Xét hình thang ABDC, ta có :

IC = ID (cmt)

OA = OB (AB là đường kính (O))

=> IO là đường trung bình

=> IO // CA

Mà CA $\bot$ AB

=> IO $\bot$ AB tại O

Mà : điểm O thuộc (I)

=> AB là tiếp tuyến của (I) đường kính CD

3.c NM // AC

Ta có :

AC // BD (cmt)

=> $\frac{NA}{AC} = \frac{ND}{BD}$ (định lí talet thuận)

MÀ : CA = CM và DB = DM (cmt)

=> $\frac{NA}{CM} = \frac{ND}{MD}$

=> NM // AC (định lí talet đảo)

==============================================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 1 ( 3,5 điểm) :

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

Chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn . xác định tâm I của đường tròn đó.
Chứng minh AH vuông góc BC.
Cho góc A = 60⁰, AB = 6cm. tính BD.
Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Bài 2 ( 4 điểm) :

Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Lấy điểm C tùy ý trên cung AB sao cho AB < AC.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.

b) Qua A vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O), BC cắt (d) tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến (d’) với đường tròn (O), (d’) cắt (d) tại D. Chứng minh : DA =DF.

c) Hạ CH vuông góc AB (H thuộc AB), BD cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm CH.

d) Tia AK cắt DC tại E. Chứng minh EB là tiếp tuyến của (O) , suy ra OE // CA.

Bài 3 :

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R . Vẻ các tiếp tuyến AB ; AC với (O) ( B ; C là các tiếp điểm )

a) C/m: Tam giác ABC đều

b) Từ O kẻ đường vuông góc vớiOBcắt AC tại S . C/m : SO = SA

c) Gọi I là trung điểm của OA . C/minh SI là tiếp tuyến của (O)

d) Tính độ dài SI theo R

Bài 4 : (4 đ)

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.H là trung điểm của OB.Qua H vẽ dây CD vuông

góc vơi AB.

a) Chứng minh tam giác OCB đều.

b) Tính đô dài AC và CH theo R.

c) Tiếp tuyến tại C và D cắt nhau ở I.Chứng tỏ 3 điểm O,B,I thẳng hàng và

4HB.HI = 3R²

d) Đường vuông góc với AD kẻ từ H cắt CB ở E.OE cắt CI tại K.Chứng minh KB

là tiếp tuyến của (O) và B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD.

Bài 5 : (3,5 điểm)

Từ một điểm A ở ngoài (O; R), kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng qua B và vuông góc với AO tại H cắt (O) tại C. Vẽ đường kính BD của (O).

a) Chứng minh ΔBCD vuông.

b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O).

c) Chứng minh DC. AO = 2R² .

d) Biết OA = 2R. Tính diện tích ΔBCK theo R.

Bài 6.

Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A và B là hai tiếp điểm),OMcắt AB tại H.

1) Chứng minh H là trung điểm của AB.

2) Trên đường thẳng AB lấy điểm N (với A nằm giữa B và N). Từ M kẻ một đường thẳng vuông góc với ON tại K và cắt AB tại I. Chứng minh 5 điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.

3) Chứng minh : NA.NB = NI.NH

4) Tia MK cắt đường tròn (O) tại C và D (với C nằm giữa M và D). Chứng minh NC và ND là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 7 : (3,5đ)

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vớiOM= 2R từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là hai tiếp điểm)

a) Chứng minhOM┴ AB. Tính MA theo R.

b) Đường thẳng vuông góc OA tại O cắtMBtạiI.chứng minh ∆MOI cân.

c) Gọi H là giao điểm củaOMvới cung nhỏ AB, tia IH cắt MA tại J.

Chứng minh tứ giác OIMJ là hình thoi.

d) Tính diện tích AJIB theo R.

Bài 8 :

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vớiOM= 2R từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là hai tiếp điểm)

e) Chứng minhOM┴ AB. Tính MA theo R.