Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa

Đây là bài thứ 2 of 15 trong series Chuyên đề: Bất đẳng thức THCS

Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa là phương pháp thường hay sử dụng trong các bài toán chứng minh BĐT thông thường.

Chúng ta cũng cần kết hợp thêm các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học.

* Cấu trúc của phương pháp:

Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A – B sau đó chứng minh A – B > 0 rồi kết luận.

Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng:

a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

Giải:

Xét biểu thức: M = a² + b² + c² – (ab + bc + ca)

Suy ra  2M = 2 a² + 2b² + 2c² – 2 ab – 2bc – 2 ca

= (a² – 2ab + b²) + (b² – 2bc + c²) + (c² – 2ca + a²)

= (a – b)² + (b – c)² + (c – a)²

Vì:     (a – b)² ≥ 0

(b – c)² ≥ 0

(c – a)² ≥ 0

Do đó (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² ≥ 0

Suy ra 2a² + 2b² + 2c² – 2 ab – 2bc – 2 ca ≥ 0 hay a² + b² + c² – (ab + bc + ca) ≥ 0

Vậy: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 2: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng:

a² + b² + c² + $\frac{3}{4}$ ≥ a + b + c

Giải:

Xét biểu thức: N = a² + b² + c² + $\frac{3}{4}$ – (a + b + c)

= (a² – a + $\frac{1}{4}$) + (b² – b + $\frac{1}{4}$) + (c² – c + $\frac{1}{4}$)

= (a – $\frac{1}{2}$)² + (a – $\frac{1}{2}$)² + (c – $\frac{1}{2}$)²

Vì (a – $\frac{1}{2}$)² ≥ 0;    (a – $\frac{1}{2}$)² ≥ 0;      (c – $\frac{1}{2}$)² ≥ 0. Do đó (a – $\frac{1}{2}$)² + (a – $\frac{1}{2}$)² + (c – $\frac{1}{2}$)²  ≥ 0

Suy ra a² + b² + c² + $\frac{3}{4}$ – (a + b + c) ≥ 0

⇔ a² + b² + c² + $\frac{3}{4}$ ≥ a + b + c

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  a = b = c = $\frac{1}{2}$