Phương pháp so sánh hai lũy thừa cùng cơ số, khác cơ số

Toancap2.net sẽ hướng dẫn các em cách so sánh hai lũy thừa cùng cơ số hoặc khác cơ số qua phương pháp được giới thiệu dưới đây.

Trong chương trình số học 6 các em đã được học về lũy thừa với số mũ tự nhiên và nắm được các khái niệm liên quan như nhân hai lũy thừa cùng cơ số, chia hai lũy thừa cùng cơ số. Do đó các em hoàn toàn có thể so sánh được 2 lũy thừa cùng hoặc khác cơ số dựa vào kiến thức đã học. Và chúng ta thường hay đưa 2 lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ để so sánh chúng. Cụ thể:

1. So sánh hai lũy thừa cùng cơ số

+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.

Nếu m>n thì a^m>aⁿ (a>1).

(Ngược lại với cơ số nhỏ hơn 1 tức a<1 thì m>n thì a^m<aⁿ)

Ví dụ 1: So sánh 2⁵ và 2⁸

Ta thấy 2 số trên có cùng cơ số là 2 và 5<8 ⇒ 2⁵ < 2⁸

2. So sánh hai lũy thừa cùng số mũ

+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.

Nếu a>b thì aⁿ>bⁿ ( n>0).

Ví dụ 1: So sánh 3⁵ và 6⁵

Ta thấy 2 số trên có cùng số mũ là 5 và 3<6 ⇒ 3⁵ < 6⁵

Ngoài ra, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân.
(a<b thì a.c<b.c với c>0).
Ví dụ: So sánh 32¹⁰ và 16¹⁵, số nào lớn hơn.
Hướng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đưa 32¹⁰ và 16¹⁵ về luỹ thừa cùng cơ số 2.

32¹⁰ = (2⁵)¹⁰ = 2⁵⁰

16¹⁵ = (2⁴)¹⁵ = 2⁶⁰

Vì 2⁵⁰ < 2⁶⁰ suy ra 32¹⁰ < 16¹⁵.

3. Bài tập so sánh hai lũy thừa cùng cơ số

Bài 1: So sánh các số sau?
a) 27¹¹ và 8¹⁸.

b) 62⁵⁵ và 12⁵⁷

c) 53⁶ và 11²⁴

d) 32ⁿ và 23ⁿ (n ∈ N* )

Hướng dẫn:

a) Đưa về cùng cơ số 3.

b) Đưa về cùng cơ số 5.

c) Đưa về cùng số mũ

d) Đưa về cùng số mũ n

Bài 2:

a) 5²³ và 6.5²²

b) 7.2¹³ và 2¹⁶

c) 21¹⁵ và 27⁵.49⁸

Hướng dẫn:

a) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 5²².

b) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 2¹³.

c) Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.